PracticoIIAnalisisTres2014

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ISFDyT "Víctor Manuel Almenara"
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
Práctico II de Análisis Matemático II: Extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión.

1. Sea f : R → R/f (u) = u2 − 2

a) ¿Es continua la función?

a) Probar que para cualquier u > 0 se tiene que f es
creciente. (Sugerencia: usar el signo de la derivada)

b) ¿Es derivable la función en todos los puntosdel
dominio?

b) Probar que para cualquier u < 0 se tiene que f es
decreciente.

c) ¿Cuáles son sus puntos críticos?
d) Determine si la función tiene máximos o mínimos.

c) Probar que no existe u tal que f (u) < −2

e) Determine el o os puntos de inflexión de la función.

d) Demostrar que f (u) = −2 si y solo si u = 0 (Tener
cuidado puesto que es una doble implicación la que
hay que demostrar)

f )¿En qué intervalos la función es creciente y en qué
intervalos la función es decreciente? Justificar.

e) A partir de lo resuelto en los puntos anteriores,
darse cuenta que en u = 0 la función tiene un mínimo absoluto.
2. Demostrar que la función tg(x) es una función creciente. ¿Hay que poner alguna restricción al dominio de la
función? (Sugerencia.: usar el signo de la derivada)
3. Dada la funcióng(t) =

4t2
, responde:
t2 + 3

a) ¿Es cierto que g(t) ≥ 0, ∀t ∈ R?
b) ¿Es cierto que g(t) < 4, ∀t ∈ R?
c) Halle el siguiente límite l´ım g(t)
t→±∞

d) Encuentre los puntos donde la derivada de la función g se anula. Ellos serán los puntos críticos de
la función.
e) Aplique el criterio de la primera derivada para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos.

11. Dada la función f (x)= |x4 + 4|:
a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) ¿Existe algún x tal que f (x) < 4? Si la respuesta
es SI, encontrar al menos uno. Si la respuesta es
NO, demostrar que no existe.
c) ¿Tiene algún punto de inflexión? Justifique.
12. Aplique el criterio de la segunda derivada para
√ analizar
los puntos críticos de la función f (x) = x x + 3
13. Si f (t) = at3 + bt2determinaremos a y b de modo que
la gráfica de f tenga un punto de inflexión en el punto
(1;2). Para ello construiremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la siguiente manera:
a) Para la primera ecuación, utilice el hecho de que
f (1) = 2
b) Para la segunda ecuación, utilice el hecho de que
f (1) = 0

4. ¿En qué punto o puntos la recta tangente a la función
f (x) = x2 − 3 se vuelve paralelaal eje x?

c) Resuelva el sistema de ecuaciones para determinar
los valores de a y de b.

5. Encuentre todos los puntos críticos de la función f (x) =
cos(x2 ) que se encuentren en el intervalo [-1;1]. Analiza
cada uno de ellos y determina si son máximos o mínimos.

14. Considere la semicircunferencia
de radio r determinada
√
por la ecuación f (x) = − r2 − x2

6. ¿Existe algún valor real x0 talque f (x0 ) = 0 siendo
x+1
f (x) =
?
x−1
x+1
¿es creciente o decreciente?
x−1
¿En qué intervalos? Dar una justificación matemáticamente valedera.

7. La función f (x) =

8. Determine la concavidad de la función f (x) = −x2 + 2
9. Describa el conjunto de todos los x0 tales que f (x0 ) = 0
para la función f (x) = cos(x)
10. Dada la siguiente función:
 3
 x − 3x2
0
f (x) =

−x

a) Demuestre que lafunción es decreciente en el intervalo (−r; 0)
b) Demuestre que la función es creciente en el intervalo (0; r)
c) ¿Qué ocurre en x = 0? Justifique.
d) Demuestre si la función es cóncava hacia arriba o
hacia abajo en todo el intervalo (−r; r)
e) ¿La función es derivable en x = r? Justifique.
15. Dada la función cuadrática f (u) = au2 +bu+c sabemos
b
que su vértice se encuentra en uv = − .
2a
a)Demuestre que en el vértice siempre se encuentra
el mínimo o máximo relativo. ¿De qué depende que
sea mínimo o máximo? ¿Por qué?

si x > 0
si x = 0
si x < 0

b) Demuestre que no hay puntos de inflexión. Esto
quiere decir que la curva es cóncava hacia arriba o
hacia abajo, peno no ambas.

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16. Realizar un completo análisis de la función f (t) =
| cos(t)|. Es decir: dominio, codominio, extremos,...