Pre Calculo

Prof. Roberto O. Rivera Rodríguez, Ph.D (C.)
Preparado por: Roberto O. Rivera, PhD. (C.)

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1



Medida angular



Trigonometría de ángulos rectos



Funciones trigonométricas de ángulo



Ley de senos



Ley de cosenos
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2

Las funcionestrigonométricas se pueden
dividir en dos maneras distintas pero
equivalentes; como funciones de números
reales o como funciones de ángulos.

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3

Un ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado
inicial 1/360 de una revolución completa. En cálculo
y otras ramas de la matemáticas, se usa un modo
más natural de medir ángulos, lamedida en
radianes. La cantidad que se abre un ángulo se mide
a largo del arco de un círculo de radio 1 con su
centro en el vértice del ángulo.

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R2
B
Lado terminal

A
O

Lado inicial

O

R1

Lado inicial

A

ángulo positivo

B

R1

Lado terminal
ángulo negativo

R2
La medida de un ángulo es lacantidad de rotación respecto al vértice requerido para
La
mover R1 sobre R2 . Esto es cuando se abre el ángulo.

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

Si un círculo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en
un centro, entonces la medida de este ángulo en radianes
(rad) es la longitud del arco que subtiende el ángulo.

θ

Medida de θ enradianes

1

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

La circunferencia de radio 1 es 2π y, por lo tanto, una revolución completa tiene
2π rad, un ángulo llano tiene medida de π rad y un ángulo recto tiene medida de
π/2 rad.
π/2 rad
π rad
1 rad

o

1

o

1

o

1
Puesto que una revolución completa medida en grados es 3600 y
medida en radianes 2π,se obtiene la siguiente relación entre dos
métodos de medición de ángulo.

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o

1

1

2 rad

1
7

 180 
1 rad = 

π 

180 = π rad

a) Para convertir grados a radianes, multiplique por

b) Para convertir radianes a grados, multiplique por

1=
o

π

π
180

rad

180
180

π

Medida θ = 1 rad≈ 57.296o
θ

1

1

Para tener cierta idea del tamaño de un radian, vea:
1 rad ≈ 57.296o

y

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1o ≈ 0.01745 rad

8

a)

Exprese 60o en radianes
π
π 
60 = 60
rad = rad
3
 180 
o

a)

Cuando no hay mayor
información, se supone
que el ángulo se mide
en radianes.

Exprese π/6 rad en grados
π

 π 180 
o
rad =  
 = 30
6
 6  π 

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9

De grados a radines: (2, 8, 12)

3π
π 
2) 540 = 54
rad =
≈ 0.942rad

10
 180 
π 
8) 39600 = 3960
rad = 22π rad ≈ 69.115 rad
 180 

202.5π
9π
π 
12) 202.50 = 202.5
rad =
rad =
≈ 3.534rad

180
8
 180 
De radianes a grados: (16, 20)

3π3π 180
=- ⋅
= −2700
2
2π
180 612
20) 3.40 = 3.4 ⋅
=
= 194.80

16) -

π

π

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10
10

Un ángulo está en posición estándar si se dibuja en el plano xy con su vertice
en el origen y su lado inicial en el eje x positivo.
Ejemplo en posición estándar:

y

c)
a)

y

y

O

b)

x

O

O

x

x
y

d)Dos
Dos ángulos son coterminales si coinciden sus lados.
En las figuras anteriores a) y c) son coterminales.

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O

x

11
11



Encuentre ángulos que son coterminales con
el ángulo θ = 30o en posición estándar.



Encuentre ángulos que son coterminales con
el ángulo θ = π/3 en posición estándar.

Preparado:...