Precalculo De Villena 02 Rectas

Rectas en el plano

MOISES VILLENA MUÑOZ

2
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2.1 Ecuaciones de la recta en R
2.2 Posiciones relativas.

Objetivos.

Se persigue que el estudiante:
• Encuentre ecuaciones de rectas
• Determine si dos rectas son coincidentes, paralelas o si
son intersecantes
• Encuentre punto de intersección entre rectas.
• Encuentre ángulo de intersección entre rectas.

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2.1. ECUACIONES DE LA RECTA EN R 2
Trataremos ahora de definir ecuaciones de la recta, partiendo de un análisis
vectorial.

2.1.1 Ecuación de una recta definida por dos puntos
Es obvio que dos puntos definen una recta, observe la figura

→

⎯⎯→

Llamemos a S = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) vector directriz de la recta l .
→

⎯⎯→

Sea el vector v = P1 P = ( x − x1 , y − y1 ) , definido entre elpunto P1 ( x1 , y1 ) y
→

→

un punto P( x, y ) cualquiera de la recta. Observe que S y v son paralelos,
→

→

entonces v = k S para k ∈ R . Por consiguiente:

(x − x , y − y ) = k (x − x , y − y )
(x − x , y − y ) = (k (x − x ), k ( y − y ))
1

1

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

Por igualdad de vectores:

⎧ x − x1 = k ( x2 − x1 )
⎨
⎩ y − y1 = k ( y 2 − y 1 )
Finalmente:

38

x − x1
y − y1
=
x2 −x1 y 2 − y1

Ecuación de una recta definida por dos
puntos P1(x1, y1 ) y P2 (x 2 , y 2 )

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2.1. 2. Ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente
Tomando la ecuación anterior en la forma

y − y1 =

y2 − y1
( x − x1 )
x2 − x1

La medida de la inclinación de la recta se la llama "Pendiente", se la
denota como m y se la define como

m=

y2 − y1
.Entonces, tenemos:
x2 − x1

y − y1 = m( x − x1 )

Ecuación de una recta definida por un
punto P1 (x1 , y1 ) y su pendiente m

2.1.3. Ecuación de una recta definida por un punto y un vector
paralelo.

(

→

Considerando el vector directriz S = ( x2 − x1 , y 2 − y1 ) = s x , s y

)

como un

vector paralelo a la recta, tenemos:

x − x1 y − y1
=
sx
sy

Ecuación de una recta definida por un punto
→

()

P1 (x1 , y1 ) y un vector paralelo S = s x , s y .

2.1.4. Ecuaciones Paramétricas de una recta

Considerando

x − x1 y − y1
=
= t tenemos
sx
sy

⎧ x − x1
⎪ s =t
⎪ x
.
⎨
−
y
y
1
⎪
=t
⎪⎩ s y

Por tanto otra forma de la ecuación de una recta, sería:

⎧ x = x1 + s x t
;t ∈ R
⎨
=
+
y
y
s
t
1
y
⎩

Ecuaciones Paramétricas.

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2.1.5. Ecuación Vectorial deuna recta.
De

lo

anterior

tenemos

l : ( x, y ) = ( x1 , y1 ) + (s x , s y )t

→

considerando

→

V = ( x, y ) el vector posición de un punto de la recta, V1 = ( x1 , y1 ) el vector
→

(

posición de un punto de la recta y S = s x , s y

) un vector paralelo a la recta;

tenemos:
→

→

→

V = V1 + S t

Ecuación Vectorial de una recta.

2.1.6. Ecuación de la recta definida por un punto y unvector
normal
→

Ahora suponga que se tiene un vector n = (a, b ) perpendicular a la recta

→

→

⎯⎯→

El vector n = (a, b ) y el vector V = P0 P1 = ( x − x0 , y − y0 ) son ortogonales,
→

→

por tanto n• V = 0 .

Reemplazando tenemos (a, b ) • ( x − x0 , y − y 0 ) = 0

Y resolviendo resulta:

a ( x − x0 ) + b( y − y 0 ) = 0

Ecuación de la recta definida por un
punto P0 (x 0 , y 0 ) y un vectornormal
→

n = (a, b )

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2.1.7. Ecuación general de una recta
En la última ecuación resolviendo, resulta:

ax − ax0 + by − by0 = 0

ax + by + (− ax0 − by0 ) = 0
Haciendo c = −ax0 − by 0

resulta:

ax + by + c = 0

Ecuación general de una recta

Ejemplo 1
Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos (−2,3) y (1,−2 )
SOLUCIÓN:
Utilizandox − x1
y − y1
y los puntos dados P1 (−2,3) y P2 (1,−2 ) (No importa el orden)
=
x 2 − x1 y 2 − y1

Reemplazando tenemos:

y −3
x − (−2)
=
1 − (− 2) − 2 − 3

Resolviendo y despejando tenemos:

x +2 y −3
=
3
−5
− 5 x − 10 = 3 y − 9
5x + 3 y + 1 = 0

Ejemplo 2
Hallar la ecuación general y ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al
punto (7,3) y es paralela a la recta que tiene por...