Precalculo - logica, numeros y conjuntos.

1. DEFINICION DE LOGICA

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias  física y  naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

2. PROPOSICIONES LÓGICAS:

Definición

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. Laproposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.

Ejemplo.

 

p:         La tierra es plana.

q:         -17 + 38 = 21

r:          x > y-9

s:         El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t:          Hola ¿como estas?

w:         Lavael coche por favor.

 

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El  inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa overdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

3. VARIABLES PROPORCIONALES

Definición

Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medidaintuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades.

Simbología

Y,y X,x

3. CONECTIVOS LOGICOS

Definición

Denominaremos conectivos lógicos a ciertos símbolos utilizados para combinar proposiciones, produciendo así otra llamadaproposición compuesta.

Tipos y su simbología

Negación ( X o ~ X )
Conjunción (∧ ) (Donde haya una F es F)
Disyunción (∨ ) (Donde haya una V es V)
Implicación (_)(Honesto(v)—Mentiroso(f))
Equivalencia (=)

LA NEGACIÓN

La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad

|p |¬p |
|V |F |
|F |V |Ejemplo. Encuentre la negación de las expresiones siguientes:

i) Júpiter es un planeta
ii) El pizarrón es verde
iii) El número real x es negativo
iv) Algún elefante es de color rosa
v) Ningún pez respira fuera del agua
vi) Todos los leones son feroces

Solución:

i) Júpiter no es un planeta
ii) El pizarrón no es verde
iii) El número real x no es negativo o también El número real xes positivo ó cero
iv) Ningún elefante es de color rosa
v) Algún pez respira fuera del agua
vi) Algún león no es feroz

LA CONJUNCIÓN

De las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:

|p |q |p^q |

|V |V |V |
|V |F |F |
|F |V |F |
|F |F |F |

Laconjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos:

La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos

p ^ q, donde

p: la función es creciente
q: la función esta definida para los números positivos
Así también: p ^ q, donde

p: el número es divisible por 3
q: el número está representado en base 2

se...