PRECALCULO_Stewart_ 03

Image 100/Corbis

CAPÍTULO

3

FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES
3.1 Funciones y modelos
cuadráticos
3.2 Funciones polinomiales y sus
gráficas
3.3 División de polinomios
3.4 Ceros reales de funciones
polinomiales
3.5 Números complejos
3.6 Ceros complejos y el Teorema
Fundamental de Álgebra
3.7 Funciones racionales

Las funciones definidas por expresiones de polinomios se denominan funcionespolinomiales. Las gráficas de funciones polinomiales pueden tener numerosos
picos y valles; esto las hace modelos apropiados para muchas situaciones prácticas. Por ejemplo, la propietaria de una fábrica observa que si ella aumenta el número de trabajadores, aumenta la productividad, pero si hay demasiados trabajadores entonces la productividad empieza a disminuir. Esta situación está
modelada por unafunción polinomial de grado 2 (una función cuadrática).
Como otro ejemplo, cuando se golpea un balón de volibol, éste primero sube y
luego baja, siguiendo una trayectoria que también está modelada por una función cuadrática. Las gráficas de funciones polinomiales son curvas sin irregularidades que se usan para diseñar muchas cosas. Por ejemplo, los diseñadores de
botes de vela unen partes de lasgráficas de diferentes funciones cúbicas (llamadas curvas paramétricas) para hacer las curvas del casco de un bote de velas.

ENFOQUE SOBRE MODELADO
Ajuste de datos a curvas con
funciones polinomiales

223

224

C A P Í T U LO 3

| Funciones polinomiales y racionales

3.1 F UNCIONES Y MODELOS CUADRÁTICOS
Graficar funciones cuadráticas usando la forma normal ᭤ Valores máximo y
mínimo de funcionescuadráticas ᭤ Modelado con funciones cuadráticas
Una función polinomial es una función que está definida por una expresión con polinomios.
Entonces una función polinomial de grado n es una función de la forma

an x n

P1x2
Las expresiones de polinomios están
definidas en la Sección 1.3.

an 1x n

1

p

a1x

a0

Ya hemos estudiado funciones polinomiales de grados 0 y 1. Éstas son funciones de la
forma P1x2 ϭa0 y P1x2 ϭ a1x ϩ a0, respectivamente, cuyas gráficas son rectas. En esta sección estudiamos funciones de grado 2 que reciben el nombre de funciones cuadráticas.

FUNCIONES CUADRÁTICAS
Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2. Entonces, una
función cuadrática es una función de la forma

f1x2

ax 2

bx

c,

a

0

Vemos en esta sección la forma en que las funciones cuadráticasmodelan muchos fenómenos reales. Empecemos por analizar las gráficas de funciones cuadráticas.

� Graficar funciones cuadráticas usando la forma normal

Para una definición geométrica de parábolas, vea la Sección 11.1.

Si tomamos a ϭ 1 y b ϭ c ϭ 0 en la función cuadrática f 1x2 ϭ ax2 ϩ bx ϩ c, obtenemos
la función cuadrática f 1x2 ϭ x2, cuya gráfica es la parábola graficada en el Ejemplo 1 de la
Sección2.2. De hecho, la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola; puede
obtenerse de la gráfica de f 1x2 ϭ x2 por las transformaciones dadas en la Sección 2.5.

FORMA NORMAL DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática f1x2

ax 2

bx

f 1x2

a1x

c puede expresarse en la forma normal
h2 2

k

completando el cuadrado. La gráfica de f es una parábola con vértice (h, k); la
parábola abrehacia arriba si a
0 o hacia abajo si a
0.
y

y
Vértice (h, k)

k

k
Vértice (h, k)

0

x

h
Ï=a(x-h)™+k, a>0

E J E M P LO 1

0

h

x

Ï=a(x-h)™+k, a<0

Forma normal de una función cuadrática

Sea f 1x2 ϭ 2x2 2 12x ϩ 23.
(a) Exprese f en forma normal.

(b) Trace la gráfica de f.

S E C C I Ó N 3.1
Completar el cuadrado se estudia en la
Sección 1.5.

f 1x 2

21x

32

2

5

El vértice es 13, 5 2

|Funciones y modelos cuadráticos 225

S O LU C I Ó N
(a) Como el coeficiente de x2 no es 1, debemos factorizar este coeficiente de los términos
que contienen x antes de completar el cuadrado.

f1x2

2x 2
21x

2

21x 2
21x

12x

23

6x2

23

6x
32 2

92

23

Factorice 2 de los términos en x
Complete el cuadrado: sume 9 dentro
de paréntesis, reste 2 # 9 fuera
Factorice y simplifique

2#9

5

La...