Precalculo

Identidades Fundamentales

Marta Rosas de Cancio

La identidad Fundamental:
Cómo las funciones trigonométricas se definieron en el círculo de radio 1, cuya ecuación es x2 + y2 = 1. Cómo sen a =y del círculo y cos a = x del círculo unitario, entonces al sustituir en la ecuación del círculo tenemos que: (cos a)2 + (sin a)2 = 1 O lo que es lo mismo

cos2a + sin2a = 1

sen2 a + cos2 a = 1(0,1) (cos a, sen a)

(-1,0)

cos a

a

sen a
(1,0) Círculo Unitario

(0,-1)

Identidad Madre
Si

a es cualquier ÁNGULO ó número real,
sin2a + cos2 a = 1.

IdentidadesFundamentales
Identidades Recíprocas
1 csc t = sin t 1 sec t = cos t 1 cot t = tan t

sin t tan t = cos t

cos t cot t = sin t

Se obtienen directamente de las definiciones

IdentidadesFundamentales
Identidades Pitagóricas
sen2t + cos2t = 1 tan2t + 1 = sec2t 1 + cot2t = csc2t

Si tomamos la identidad madre y dividimos ambos lados por cos2t (siempre
que cos t ≠ 0), obtenemos:
sin t cos t1 + = 2 2 2 cos t cos t cos t  sin t   1    +1=    cos t   cos t  2 2 tan t + 1 = sec t
2 2 2 2

Hemos usado las identidades recíprocas para demostrar las pitagóricas, en particularsen t/cos t = tan t and 1/cos t = sec t.
De igual forma si dividimos ambos lados de la identidad madre por sen2t (siempre que sen t ≠ 0) obtenemos: 1 + cot2t = csc2t

Ej. Halla cos a , dado que sena = 3/5 y a es un ÁNGULO en el II cuadrante.
sin 2 a + cos 2 a = 1  3 + cos 2 a = 1    5 16 cos a = 25
2 2

16 4 cos a =  = 25 5 4 cos a =  5

Si cos t = 3/5 y t está en el 4tocuadrante, halla los valores de todas las funciones trigonométricas de t.
sin2 t + cos2 t = 1 sin t + 
2 3 2 5 2 2



=1
16 25

9 sin t = 1  25 = 4 sin t =  5

Como este punto está en el 4tocuadrante, sen t es negativo. Luego, sen t = –4/5.

Ahora que conocemos ambos sen t y cos t, podemos hallar todas las demás funciones trigonométricas usando las identidades recíprocas:
4 sin t =...