Precalculo

PRECÁLCULO

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UNIDAD III SISTEMAS TRASCENTENTALES
3.1 Funciones exponenciales y logarítmicas 3.1.1 Definición de función exponencial En capítulos anteriores se han utilizado expresiones del tipo x 2 , 3x 3 , etc. las cuales son términos algebraicos en donde la variable está elevada a un exponente constante. Debe recordarse que la interpretación de la función potencia comopor ejemplo x 3 es como sigue: x 3  x  x  x . Las funciones exponenciales, por otro lado, son trascendentes y contienen términos en los cuales una constante está elevada a una variable. De manera específica: Una función exponencial es una expresión que tiene como base una constante (������) positiva y diferente de la unidad y como exponente una variable. En términos matemáticos la funciónexponencial es: ������ ������ = ������ ������ donde ������ > 0 ������ ������ ≠ 1 para todo valor de x. De forma más amplia el exponente de ������ puede ser una función, es decir: ������ ������(������) = ������ ������(������ ) Un ejemplo típico de función exponencial es: f x  2x

 

En esta función se pueden sustituir algunos valores de la variable independiente y obtener los siguientesresultados: f 2  22  1/ 4

  f  1  2  1/2 f  0  2  1 f 1  2  2 f 2  2  4 f 2.5  2  5.6568 f    2  8.8250
1 0 1

2

2.5



Otras funciones exponenciales típicas son f x  10x y f x  e x , donde e es la base de los logaritmos naturales o neperianos.

 

 

3.1.2 Gráfica de la función exponencial En la Fig. 1. se han graficado las funciones exponenciales: ������ ������ = 2������ y ������ ������ =
1 ������ 2

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En ambos casos, se observa que el dominio es el conjunto de los reales mientras que el rango es el intervalo (0,+) Tabla 1. Valores de funciones exponenciales ������ -3 -2 -1 0 1 2 3
10

f  x   2x
1/8 ¼ ½ 1 2 4 8

g x    
8 4 2 11/2 1/4 1/8

1 2

x

g  x  (1/2)x
8

f  x   2x
f  x   2x

6

4

2

0 -4 -2 0 2 4

Fig. 1. Gráfica de funciones exponenciales En la Fig. 2 se muestra una serie de funciones exponenciales con diferentes bases. De dicha figura se pueden obtener las siguientes conclusiones de forma más pronunciada. a) Cuanto más se acerque la base a cero, más rápido decrece el valor dela función cuando se incrementan los valores de la variable independiente. b) Si la base es mayor que uno, cuanto mayor sea la base el valor de la función también tiende a incrementarse. Tabla 2. Simbología empleada en la Fig. 2 Símbolo función x ── f x  1/2 -◦-◦-∆-∆---

4

    f  x   1/3 f  x   1/ 4  f  x   1/10
x

3

x

x

2

---◊-◊---■-■-

f  x   10xf  x   4x f  x   2x

1

f  x   3x

0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Fig. 2. Familia de funciones exponenciales

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PRECÁLCULO Desplazamiento y reflexión de funciones exponenciales

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a) Desplazamiento horizontal: sea ������(������) = ������ ������ , entonces ������ ������ + ������ = ������ ������+������ es lagràfica de la función ������ ������ desplazada −������ unidades de forma horizontal. b) Desplazamiento vertical: sea ������(������) = ������ ������ entonces ������ ������ + ������ = ������ ������ + ������ es la gráfica de la función exponencial desplazada ������ unidades en sentido vertical. c) Reflexión: si ������(������) = ������ ������ , entonces ������(−������) es una reflexión con respecto aleje de las ordenadas y −������(������) es una reflexión respecto al eje de las abscisas. Ejemplos de desplazamientos Trace el bosquejo de a) ������1 (������) = 2������ , ������2 ������ = −2������ , ������3 (������) = 2−������ b) ������ (������) = 2 + 2������ , ������5 (������) = 2������ +2 4
20 15 10 5 6 4 0 1 2 3 4 2 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 10 8

0
-4 -3 -2 -1 -5

-10 -15 -20

Fig. 3:...