Precalculo

Taller de resoluci´n o de problemas de concurso Universidad de Puerto Rico Colegio Universitario de Cayey
Dr. David A. SANTOS

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´ Indice General

1 Progresiones aritm´ticas e e 2 Progresiones geom´tricas o o 3 Cancelaci´n telesc´pica 4 Recursiones y ecuaciones funcionales 5 Ecuaciones 6 Identidades algebraicas 7 Los enteros 8 Aritm´tica modular e 9 Polinomios

3 9 17 29 35 45 53 6373

10 Conteo 85 10.1 Permutaciones y combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

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´ INDICE GENERAL

Cap´tulo ı

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Progresiones aritm´ticas e
Consideremos el siguiente problema. Ejemplo 1.0.1 Si la sucesi´n de t´rminos 6, 10, 14, 18, 22, . . . sigue la misma ley o e o e e de formaci´n, hallar los t´rminos 10mo , 50avo , 100avo . ¿Puede hallar el n-´simo t´rmino? eSoluci´n: Observemos que cada t´rmino se obtiene sum´ndole 4 al t´rmino o e a e anterior. As´ ı: 10 = 6 + 4, 14 = 10 + 4, 18 = 14 + 4, 22 = 18 + 4, . . . Pero a´n podemos ir m´s lejos. Podemos expresar cada t´rmino en t´rminos del u a e e primero. Luego 6 = 6 + 0 · 4 primer t´rmino e 10 = 6 + 1 · 4 segundo t´rmino e 14 = 6 + 2 · 4 tercer t´rmino e 18 = 6 + 3 · 4 cuarto t´rmino e 22 = 6 + 4 · 4quinto t´rmino. e Si el patr´n de formaci´n es respetado para los t´rminos subsiguientes entonces o o e deber´ ıamos tener: d´cimo t´rmino = 6 + 9 · 4 = 42, cincuentavo t´rmino = e e e 6 + 49 · 4 = 202 y cienavo t´rmino = 6 + 99 · 4 = 402. De igual manera e deducimos que el en´simo t´rmino es = 6 + 4(n − 1). e e Una progresi´n como la del ejemplo previo, en donde la diferencia de t´rminos o econsecutivos es constante se llama progresi´n aritm´tica. As´ o e ı −18, −12, −6, 0, 6, 12, . . . 3

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´ CAP´ ITULO 1. PROGRESIONES ARITMETICAS

es una progresi´n aritm´tica de diferencia com´n 6, mientras que 1, 3, 7, 97, . . . o e u no lo es, ya que t´rminos sucesivos no guardan diferencia constante. e En general, si comenzamos con un n´mero arbitrario, digamos a y si guardamos u una diferenciacom´n de d, entonces obtenemos la progresi´n aritm´tica a, a + u o e d, a + 2d, a + 3d, . . . , con t´rmino en la posici´n n igual a a + (n − 1)d. e o Ejemplo 1.0.2 Hallar el 35avo t´rmino de una progresi´n aritm´tica cuyo 27avo e o e t´rmino es 186 y cuyo 45avo t´rmino es 312. e e Soluci´n: Tratemos de expresar la data que sabemos en t´rminos del primer o e t´rmino y la diferencia com´n. Como nose nos da el primer t´rmino, llam´mosle e u e e a y a la diferencia com´n llam´mosla d. As´ el primer t´rmino es a, el segundo u e ı e a + d, el tercero a + d + d = a + 2d, el cuarto a + 2d + d = a + 3d, etc. As´ ı el 27avo t´rmino debe ser a + 26d y el 45avo t´rmino debe ser a + 44d. Pero e e ı la data del problema estipula que a + 26d = 186 y a + 44d = 312. De aqu´ (a + 44d) − (a + 26d) = 312 −186 = 126, i.e., 18d = 126 o d = 7. Pero entonces 186 = a + 26d = a + 26 · 7 = a + 182, de donde a = 4. Finalmente el 35avo t´rmino, o sea, a + 34d est´ dado por a + 34d = 4 + 34(7) = 242. e a Veremos ahora como sumar progresiones aritm´ticas. e Ejemplo 1.0.3 Sumar la progresi´n aritm´tica o e 7 + 15 + 23 + · · · + 807. Soluci´n: Vemos que los t´rminos est´n en progresi´n aritm´tica: 7, 7 + 8 ·1, 7 + o e a o e 8 · 2, . . . , 7 + 8 · 100. Observe que si S = 7 + 15 + 23 + · · · + 807, entonces tambi´n S = 807 + 799 + 791 + · · · + 7. As´ 2S = (7 + 807) + (15 + 799) + e ı: (23 + 791) + · · · + (807 + 7) = 101 · 814 = 82214. Finalmente, S = 41107. Ejemplo 1.0.4 Sumar 5/2, 1, −1/2, . . . hasta 19 t´rminos. e Soluci´n: La diferencia com´n es −3/2. Luego el primer t´rmino es 5/2 = o u e5/2+0(−3/2), el segundo 1 = 5/2+1(−3/2), el tercero −1/2 = 5/2+2(−3/2), . . . , el diecinueveavo t´rmino 5/2 + 18(−3/2) = −49/2. As´ la suma que e ı, queremos es S = 5/2 + 1 − 1/2 − · · · − 49/2.

5 Operando como en los ejemplos anteriores, 2S = = = = (5/2 − 49/2) + (1 − 46/2) + (−1/2 − 43/2) + · · · + (−49/2 + 5/2) −44/2 − 44/2 − 44/2 − · · · − 44/2 19(−44/2) −418.

Colegimos luego que S = −209....