Precalculo

CAPITULO 1.
FUNCIONES

TEMA 1
¿Qué es una función?

Para comprender el concepto matemático de función es necesario primero comprender qué son conjuntos y cómo pueden relacionarse éstos. Por ejemplo, consideremos los conjuntos A = {2,3,5} y B = {4,6,11}; los elementos de A se pueden relacionar con B siguiendo una regla, por ejemplo: “Es divisor de”. Esta regla permite establecer unacorrespondencia o relación entre A y B, que llamaremos “g” y que podemos representar de varias maneras, la más común es la representación sagital, también llamado diagrama de Venn.

FIGURA 1. Representación sagital de una función (Diagrama de Venn)

Siguiendo la regla de correspondencia que hemos establecido (“Es divisor de”), hemos relacionado el 2 con el 4 y con el 6, ya que 2 es divisor de esosnúmeros y el 3 con el seis, ya que tres es divisor de 6. El 5 no está relacionado con ningún número de B, ya que no es divisor de ninguno de los números que aparecen en ese conjunto.
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Ahora bien, consideremos la relación f: A → B: “ES LA MITAD DE”, aplicada a los conjuntos A ={1,2,3,4} y B = {2,3,4,6,8}. Vemos que las relaciones que pueden establecerse son: A x B = {(1,2), (2,4),(3,6),(4,8)}
En el ejemplo anterior se observa que ningún elemento de A está asociado a más de un elemento de B; además todos los elementos de A están asociados a algún elemento de B. Al darse estas condiciones podemos afirmar que la correspondencia entre A y B es una función.
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TEMA 2
Funciones numéricas

Consideremos la función que asigna a un número entero el mismo númeroincrementado en cinco unidades. Como la función está definida en Z (Números enteros), podemos expresarla así:

f: Z Z f(x) = x + 5

Hemos usado la letra x para representar a los elementos del conjunto de partida (dominio), pero puede usarse cualquier letra. La expresión: f(x) = x + 5 se denomina formula o ecuación de la función. También, en vez de escribir f(x) se puede escribiry, con lo que nuestra expresión quedaría:
y = x + 5
La x representa la variable independiente, ya que se le puede dar un valor en forma libre (en este caso cualquier número entero), la letra y representa la variable dependiente, ya que su valor depende del valor que tome la x. Por ejemplo, si x = 2, entonces y = 7; si x = 4, entonces y = 9.

TEMA 3
Tipos de funciones

Función inyectivaSea f(x) x → A con Rgo: y , f(x) es inyectiva si para toda xi ( x2 implica que f(xi) ( f(x2). Por ejemplo. En la función f(x) = 2x. Si x1 = 2 y x2 = 3. Vemos que f(2) = 4 y f(3) = 6. Por lo tanto f(x) = 2x es inyectiva.

Podemos visualizarlo en el siguiente diagrama

FiGURA 2.. UNA FUNCION INYECTIVA

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Función sobreyectiva

Sea f(x) x → A con Rgo: y , f(x) es sobreyectiva sitodo elemento de f(x) es imagen de al menos un elemento de x. En base a esta definición podemos ver que la función f(x) = 2x aparte de ser inyectiva también es sobreyectiva.

FIGURA 3: FUNCION SOBREYECTIVA

Función biyectiva

Una función es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. En pocas palabras, cada elemento del conjunto de llegada tiene como máximo un antecedente en el conjuntode partida.

FIGURA 4. FUNCION BIYECTIVA

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FIGURA 5: Una función inyectiva representada en un plano cartesiano
Obsérvese que si trazamos una recta paralela a las x (línea roja) corta a la curva de la función (línea azul) en un solo punto. Esa función es inyectiva.
TEMA 4
Representación gráfica de funciones

Las funciones suelen representarse en un sistema de coordenadasrectangulares, también llamadas cartesianas[1]. El plano cartesiano está formado por dos semirrectas perpendiculares. En la línea horizontal, llamado eje de las abscisas se sitúan los valores de la variable independiente (la x) y en la vertical, también llamado eje de las ordenadas se colocan los valores de la variable dependiente (la y) Por convención, los valores positivos de la abscisa se colocan a...