predeterminado

Solución de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden de
Variables Separables:
Si g (x ) es una función continua dada, entonces la ecuación de primer

αx

si λ = α ± βi, λ ∈ C ⇒ y h = e (c1 cos βx + c 2 senβx )
1, 2
1, 2
-

orden:

dy
= g (x) se puede resolver por integración: dy = g ( x ) dx
dx
∴ y = ∫ g ( x ) dx − c
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Homogéneos:
Si unaecuación de la forma diferencial M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0
tiene la propiedad que:

M (tx, ty ) = t M ( x, y )
N (tx, ty ) = t n N ( x, y )
n

se dice que tiene coeficientes homogéneos, por lo tanto, si M y N
tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una
ecuación de variables separables, usando cualquiera de las
sustituciones y = ux , o bien x = vy donde u y v sonnuevas variables
independientes.
Ecuaciones Diferenciales Exactas
Dada la ecuación: M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 , Si

∂M ∂N
=
⇒ ∃f ( x, y ) tal que df = Mdx + Ndy
∂y
∂x
f ( x, y ) = ∫ M ( x, y )dx + h( y ) = ∫

N ( x, y )dy + g ( x) , siendo

f ( x, y ) = C la solución a la Ecuación diferencial.
Factor Integrante:
Cuando la ecuación diferencial no es exacta, entonces se puedeaplicar

µ ( x) = e ∫

si λ1 = λ 2 ; λ1 , λ 2 ∈ ℜ ⇒ y h = c1e λ1 x + c 2 xe λ2 x

g ( x ) dx

∂M ∂N
−
∂x
; g ( x) = ∂y
N

ó
h ( y ) dy
;
µ ( y) = e ∫

∂N ∂M
−
∂x
∂y
h( y ) =
M

que al multiplicar la ecuación diferencial por µ (x ) o por µ ( y ) , la
convierten en una Ecuación diferencial exacta
Solución para ecuación diferenciales de Primer Orden
- EcuacionesHomogéneas.
Sea una ecuación diferencial de la forma:
− ∫ p ( x ) dx
dy
+ p ( x) y = 0 , entonces: y = Ce
dx

- Ecuaciones No Homogéneas.
Sea una ecuación diferencial de la forma:

dy
+ p ( x) y = q ( x) , entonces:
dx
− p ( x ) dx
− p ( x ) dx
p ( x ) dx
y = Ce ∫
q ( x )e ∫
dx
+e ∫

∫

Solución para ecuaciones de 2° orden R C
Homogéneas
y ' '+ a1 y + a 2 y = 0 , expresada enoperador
diferencial: ( D 2 + a1 D + a 2 ) y = 0

λ + a1λ + a 2 = 0 → λ1 = α , λ 2 = β
2

si λ1 ≠ λ 2 ; λ1 , λ 2 ∈ ℜ ⇒ y h = c1 e λ1 x + c 2 e λ2 x

No Homogéneas

y' '+ a1 y + a 2 y = q(x) , expresada en operador
diferencial: ( D 2 + a1 D + a 2 ) y = q ( x)
el termino q(x) se debe anular para obtener así la forma de una
ecuación diferencial homogénea.
Para anular al termino q (x) están lossiguientes operadores
anuladores (aniquiladores):
• para q (x) de la forma c, cx, cx 2 ,..., cx n se tiene el operador

(D

n +1

a11 − λ
a 21
det( A − λI ) =
M
a n1

a12
a 22 − λ
M
an2

L
a1n
L
a2n
= P (λ ) = 0
O
M
L a nn − λ

P(λ ) es el polinomio característico del determinante, y λi son las
raíces del polinomio.
Esto resulta del Teorema de Cayley-Hamilton.Propiedades de la Matriz Exponencial:
2 2

n n

2!

n!

Si en la ecuación e At = I + At + A t + L + A t + L

1)

hacemos t = 0 entonces: e At = e 0 = I

) , c = cte

• para q (x) de la forma ceαx , cxeαx , cx 2 eαx ,..., cx n eαx se tiene

2)

Derivando e At : d (e At ) = Ae At

( D − α ) n , c = cte
• para q (x) de la forma
ceαx cos βx, cxeαx cos βx, cx 2 eαx cos βx, ... , cxn eαx cos βx ,
ceαx senβx, cxeαx senβx, cx 2 eαx senβx,..., cx n eαx senβx se tiene
( D 2 − 2αD + [α 2 + β 2 ]) n , c = cte .

3)

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden y si

4)

Si en la ecuación anterior se hace B = − A se tiene

Para una ecuación diferencial de orden mayor que 2 se tiene:
y ( n ) + a 0 y ( n −1) + a1 y ( n − 2 ) + K + a n − 2 λ '+ a n −1 y = 0 seprocede de
manera análoga a las ecuaciones de 2° orden teniendo así

λ + a0 λ
n

n −1

+ a1λ

n−2

+ K + a n − 2 λ + a n −1 = 0

Variación de Parámetros (para q(x) sin aniquilador)
De la solución de la homogénea asociada de una ec. Dif. se tiene:
y h = c1 y1 ( x) + c2 y 2 ( x) + K + cn y n ( x) , entonces se hace a

ci = ui ( x), i = 1,2,K, n
y se tiene y h = u1 ( x) y1 ( x) + u...