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Año académico: 2006-2007


I.E.S. “La Ería”


Departamento Didáctico de Matemáticas


Nivel: ESO
2º ciclo



Complementos teórico-prácticos.
Tema: Progresiones aritmet. y geomet.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro­fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Progresiones.

Definición de sucesión: una sucesión numérica no es más queuna lista, o serie, ordenada de números reales.
Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada, como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, pero cada vez en una posición distinta.
El valor de losnúmeros en la serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin nin­guna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación.

Conceptos:

Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas:
Orden del término, que nosindica qué posición ocupa dentro de la suce­sión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ...
Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.
Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del térmi­no, y b es el valor numérico del término.Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...
Ejemplo: nos dice que el término séptimo de la serie tiene el valor numérico asociado de treinta y siete cuartos.
Términogeneral: es la forma en la que nos referiremos a un término cual­quiera de la sucesión, se suele indicar por etc. ..
Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo:
, son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14.
Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepe­núltimo, en general el yel , es decir , etc. ...
Clases de sucesión:
Limitadas, cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc.

Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito.

Formas de expresar una sucesión:
Describiendo los términos, una sucesión queda bien determinada siempre que sean conocidos los primeros términos y la ley por la cual pueden obtenerse nuevos términos, o bien, a travésde la propiedad que caracteriza a cada uno de sus términos, por ejemplo:
Los números naturales acabados en siete:
Los múltiplos de siete:
Reproducir “literalmente”, pero utilizando cifras, lo que esta escrito en el término justo anterior:
, ya que el primero es “un uno”, por lo que el segundo son “dos uno”, el tercero “un dos un uno”, etc. ...
Mediante una expresión analítica, o fórmuladel término gene­ral, ya que en estos casos basta con ir dando valores al contador del término general para ir obteniendo todos y cada uno de los términos de la sucesión, por ejemplo:
, vamos dando a n valores naturales empezando por 1, así, , , , etc. ... y nos queda­ría la sucesión
Mediante una ley de recurrencia, es decir, una relación entre un térmi­no cualquiera y los anteriores, o entre untérmino, los anteriores y el lugar que éste ocupa, por ejemplo:
Un término cualquiera es igual a la suma de los dos que le preceden, es decir , si partimos de a1 = 1, y a2 = 1, obtenemos la suce­sión , conocida como sucesión de Fibonacci.
Ley , con a1 = 1, obtenemos
, si suponemos que a ambos lados del primer uno y a la izquierda de los que están a la izquierda, y a la derecha de los que...