Preferencias Y Utilidad

PANORAMICA GENERAL SOBRE PREFERENCIAS
Y UTILIDAD

Esteban Induráin Eraso

RESUMEN.—Estudiamos de manera general el concepto de preferencia
como sistema de escala cualitativa, comparación u ordenación entre los elementos de un determinado conjunto. A continuación analizamos el problema de
representación de una preferencia a través de una escala cuantitativa, o numérica, a partir de la b ŭsqueda de adecuadas funciones, que se denominan funciones
de utilidad, con dominio en el conjunto sobre el que está definida la preferencia
y rango en determinados conjuntos de n ŭ meros reales. Hacemos un recorrido
por las distintas ramificaciones que aparecen al abordar este problema general,
en lo que se conoce como teoría de la utilidad.

1. INTRODUCCION
Una de las ideas clave (quizá laque justifica toda la teoría, y su razón
de ser), de la teoría de la utilidad es la b ŭ squeda de representaciones
numéricas de estructuras ordenadas, pasando así de escalas cualitativas
establecidas a partir de preferencias, comparaciones, opiniones, juicios de
valor, etc., a escalas cuantitativas basadas en n ŭ meros, cantidades, valores,
etc. (a los que, en ocasiones, se les dará algunainterpretación más cotidiana, como precios, presupuestos, etc.).
Si bien la teoría tiene ramificaciones importantes, e incluso clásicas
(como, por ejemplo, la teoría de Von-Neumann-Morgenstem, la teoría de
decisión bajo riesgo o incertidumbre, la teoría de la libertad de elección,
etc.) podemos entender que el problema básico es el siguiente: X es un
conjunto no vacío dotado de alg ŭ n tipo deordenación «< » total o parcial,
o incluso, de una preordenación (relación binaria reflexiva: x < x, para
todo x e Xy transitiva: x< y, u< z x< z(x, y, z e X) definida sobre X).
Se trata entonces de interpretar la estructura (X, < ) como una subestructura de la recta real, ordenada con su orden natural, (R, ). Por ejemplo, en

314

Esteban Indurnin Eraso

el caso de que < sea unpreorden completo (relación binaria reflexiva,
transitiva y completa o total: para cualesquiera dos elementos x, y e X
ocurre ora que x < y ora que y < x), se tratará de buscar isotonías entre
(X, < ) y (R, ). Es decir, el objetivo es encontrar funciones u : X --> R
tales que x < y ‹> u(x)  u(y) (x, y e X). A tales funciones «u» (en caso
de que existan, por supuesto) se les denomina habitualmentefunciones
de utilidad.
Nótese q ŭ e la mera existencia de una función de utilidad u : (X, < ) -->
(R, ) nos impone de entrada fuertes restricciones sobre «< ». que no puede ser
ya cualquier tipo de ordenación o preordenación. Resulta fácil darse cuenta de
que si una función de utilidad «u» existe, entonces «< » es a fortiori, un preorden completo. Queda por tanto, como problema a dilucidar,si todo preorden
completo es o no es representable a través de una función de utilidad.
El tipo de problema abordado aquí fue planteado y estudiado ya por
Georg Cantor, a finales del siglo XIX. (Véase Cantor 1j1895, 1897]). Cantor obtiene ya resultados significativos para el caso de conjuntos finitos o
numerables. En esencia, Cantor sienta las bases del siguiente resultado
clásico, a élatribuido, aunque las primitivas y quizá algo incompletas
demostraciones que dio en Cantor [1895, 18971 han sido notablemente
mejoradas en trabajos posteriores. (Véase, por ejemplo, Kamke [1950],
p. 71. Para alguna extensión y profundización véase Bridges y Mehta
[1995], pp. 17 y ss.):
TEOREMA 1

(Cantor):

La estructura ordenada (Q, ) de los n ŭ meros racionales con su orden
naturalcontiene isotónicamente a cualquier conjunto totalmente ordenado finito o numerable.
(Nota: Por orden total se entiende un preorden completo < verificando
la propiedad antisimétrica: x < y, y< xx=y (x, y e X)).
En otras palabras, diríamos que siendo (Z, < ) una estructura ordenada
donde Z es un conjunto finito o numerable, y «< » es un orden total, existe
siempre una función de utilidad u : (Z,...