pregrado

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FS-0210 FÍSICA GENERAL 1

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE FISICA
ALGEBRA DE VECTORES

Algunas magnitudes físicas, tales como la masa y la longitud, quedan completamente
determinadas cuando se conoce su medida respecto a unidades dadas. A estas
magnitudes se les llaman escalares. Otras, como la velocidad y la fuerza, de las que
además es preciso conocer sudirección y sentido, se denominan cantidades vectoriales.
Un vector se representa por un segmento de recta dirigido, esto es, con una flecha en
uno de sus extremos la cual indica el sentido del vector. La longitud de ese segmento de
recta es proporcional a la magntud o módulo del vector, según un factor de conversión
previamente definido.
Para facilitar el manejo analítico de los vectores enlo que se refiere a los procesos de
suma, resta, y multiplicación es adecuado referirlos a un sistema de coordenadas
cartesianas, como el indicado en la figura:

Los catetos Ax y Ay se definen en forma paralela a los semiejes X y Y respectivamente,
al igual que los vectores unitarios iˆ y ˆ . En términos de componentes cartesianas y
j
ˆ
j
vectores unitarios se tiene que A  Axi  Ay ˆ ,siendo la magnitud del vector dada por
2
A  A  Ax2  Ay . Obsérvese que la magnitud de un vector es una cantidad escalar, la

cual se define positiva.

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Suma de Vectores en el Plano Cartesiano

ˆ
ˆ
Dados los vectores A  Axi  Ay ˆ y B  Bxi  By ˆ , al sumarlos analíticamente
j
j
agrupamos las componentes paralelas al eje X y las paralelas al eje Y,de modo
ˆ
que A  B  ( Ax  Bx )i  ( Ay  By ) ˆ . La justificación de este procedimiento se basa en el
j
hecho de que la suma o resta de vectores paralelos o antiparalelos se puede realizar
sumando o restando “longitudes”, especificando luego la dirección.

Si se requiere sumar más de dos vectores para obtener el vector resultante, aplicamos
una extensión del procedimiento ilustradoantes con dos vectores:

ˆ
R  ( Ax  Bx  Cx  Dx  ...)i  ( Ay  By  Cy  Dy  ...) ˆ .
j
Resta de Vectores en el Plano Cartesiano.
Este proceso es equivalente al de sumar, previo al hecho de multiplicar por –1 al vector
que se va a restar, según se indica en la siguiente figura:

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ˆ
En forma analítica la resta se realiza de la siguiente forma: R  A  B ( Axi  Ay ˆ) 
j

ˆ
ˆ
( Bxi  By ˆ)  ( Ax  Bx )i  ( Ay  By ) ˆ .
j
j

Multiplicación de un Vector por un Escalar.
Al multiplicar una cantidad escalar, un número real seguido de unas unidades, por otra
cantidad vectorial obtenemos un nuevo vector:
ˆ
ˆ
B   A   ( Axi  Ay ˆ)  ( Ax )i  ( Ay ) ˆ
j
j
2
2
B  Bx  By  ( Ax )2  ( Ay )2  

2
2
Ax  Ay   A .Una aplicación de particular importancia consiste en obtener a partir de un vector
ˆ
dado A , su correspondiente vector unitario A  AeA .
Producto Escalar o Producto Punto de Dos Vectores
Este tipo de producto vectorial, a partir del cual se calcula una cantidad escalar, se
define de la forma:

A  B  AB cos  ,
donde  ( 0     ) es el ángulo menor entre los vectores A y B aldibujarlos con
origen común. Si los vectores A y B son expresados en componentes cartesianas, su
producto escalar llega a estar dado por:

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A  B  ( Axi  Ay j )  ( Bxi  By j ) ,
ˆ ˆ
ˆ j
A  B  ( Ax Bx )(i  i )  ( Ax By )(i  ˆ)  ( Ay Bx )( ˆ  i )  ( Ay By )( ˆ  ˆ) ,
j ˆ
j j

A  B  Ax Bx  Ay By ,
ˆ ˆ j j
ˆ j j ˆ
siendo i  i  ˆ  ˆ  1 , y i ˆ  ˆ  i  0 . Obsérvese que A  A  A2 .

ˆ
ˆ
Ejemplo 1. Sean los vectores A  i  2 ˆ y B  6i  3 ˆ . Dibuje su representación
j
j
gráfica y luego obtenga: (a) la magnitud de cada uno de ellos así como su dirección
mediante algún ángulo previamente especificado en la representación gráfica, (b) el
vector resultante R  A  B , (c) el producto escalar A  B , y (d) el ángulo entre...