Preguntas de la vida fernando savater

CALCULO INTEGRAL AREAS

WILSON VELAZQUES

FRANCO JARABA CORZO DAVID REDONDO PEREZ OSCAR HERRERA LEONARD BRAVO LEYDI

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE INGENIERIA SANTA MARTA

TALLER DE CALCULO INTEGRAL 1. Calcule el valor aproximado de la integral definida dada, por medio de la regla del trapecio y la regla de simpson para el valor n que se indica. Exprese el resultado con trescifras decimales. Determine el valor exacto de la integral definida y compare el resultado con la aproximación. ¿En cual regla el error es menor?

∫

2

1 1+ x
2

0

dx

n=8

R/ Por la regla de simpson:
∆x = b−a 8 ∆x = 1 4

Xi = a + i∆x

X 1 = a + ∆x

X1 =

1 4

,
, ,

X 2 = a + 2∆x

X2 =

X 4 = a + 4∆x

X4 =1
7 2

X 5 = a + 5∆x X 8 = a + 8∆x

1 2 5 X5 = 2

, X3 = a + 3∆x , X 6 = a + 6∆x , X0 = 0

3 4 3 X6 = 2

X3 =

X 7 = a + 7 ∆x X 7 =

X8 = 4

Dándole valores a x y remplazando en la función y =

1 x2 + 1

la grafica nos resultaría

de la siguiente forma.

Formula de simpson:

S=

∆x [ y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + ........ + 4 yn−1 + yn ] 3

S=

1  16 4 16 2 16 4 16 1  + + + + + + + 1 +  12  17 5 5 2 41 13 65 5

S =1.443

Por la regla del trapecio:
Como es la misma integral definida entonces tendremos los mismos X n y por ende la misma imagen de la función entonces procederemos a aplicar la regla del trapecio que es la siguiente:

T=

∆x [ y0 + 2 y1 + 2 y2 + 2 y3 + 2 y4 + 2 y5 + 2 y6 + 2 y7 + y8 ] 2

1 8 4 8 2 8 4 8 1  T = 1 + + + + + + + +  8 17 5 5 2 41 13 65 5
T = 1.442
Ahora retomaremos laintegral definida para resolverla y así darnos cuenta cual de las dos reglas es más exacta.

∫

2

1

1 + x2 x = tan θ
0 2

dx para hallar la sustitucion de los limites de integracion x → 0 ⇒ 0 = tan θ arctan 0 = θ ⇒ θ = 0 x → 2 ⇒ 2 = tan θ arctan 2 = θ ⇒ θ = 0.352π

dx = sec θ dθ

arctan 0 = θ ; arctan 2 = 0.35 sustituyendo en la integral

∫

0.35π

sec 2 θ

1 + tan 2 θ 20.35π sec θ ∫0 sec θ dθ
0

dθ

∫

0.35π

0

sec θ dθ
0.35π 0

= ln sec θ + tan θ
x2 + 1
X

remplazando los valores de sec θ = x 2 + 1 y tan θ = x = ln x2 + 1 + x
2 0

= ln 5 + 2 − ln 1 = 1.443
Para calcular en cual de los dos formulas el error es menor debemos tener una diferencia entre el valor calculado por la integral definida y el valor calculado por la formula. Entoncespara calcular el error del trapecio faltaría restar (1.443- 1.442 ) *100 = 0.1% Y para calcular el error de simpson faltaría restar (1.443 − 1.443) *100 = 0% Podemos concluir que la formula de simpson es la mas exacta al calcular áreas.

2. Calcule el área de la región acotada por la grafica de f ( x) = 9 − x 2 entre x=0 y x=3, usando rectángulos inscritos y circunscritos. Dibuje la figura queindique la región y el i-esimo rectángulo.
R/ Para rectángulos inscritos:

f ( x) = 9 − x 2 procedemos a derivar para hallar el vertice f ´( x) = −2 xdx despejando x x = 0; y = 9 b−a 3 ∆x = ∆x = n n f ( xi*) = a + xi∆x = i∆x f ( x) = 9 − (i∆x) 2

∑ f ( xi*)∆x
i =0 n

n

∑ 9 − i ∆x 
2 i =0 n n i =0 i =0

2

 ∆x 

∑ 9∆x − ∑ i 2 ∆x3
reemplazamos el ∆x 3 n 3 9 − ∑ i2∆   ∑ ni=0  n  i =0
n 3

27 n 27 n ∑1 − n3 ∑ i 2 n i =0 i=0 A = lim 27 27  n ( n + 1)( 2n + 1)  n− 3   x →∞ n n  6 
x →∞

A = lim 27 − lim A = 27 − 9

27  n ( n + 1)( 2n + 1)    x →∞ n 3 6   A = 18 unidades

Dentro de la grafica de los rectángulos inscritos tenemos:

Para rectángulos circunscritos:

∆x =

b−a 3 ∆x = n n f ( xi*) = a + xi∆x = i∆x f ( x) = 9 − (i∆x)2
n

∑f ( xi*)∆x
i =0 n

∑ 9 − i ∆x 
2 i =0 n n i =0 i=0

2

 ∆x 

∑ 9∆x − ∑ i 2∆x3
reemplazamos el ∆x 3 n 3 9 − ∑ i2∆   ∑ n i =0  n  i =0
n 3

27 n 27 n 1 − 3 ∑ i2 ∑ n i =0 n i =0

A = lim

27 27  n ( n + 1)( 2n + 1)  n− 3   x →∞ n 6 n  
x →∞

A = lim 27 − lim A = 27 − 9

27  n ( n + 1)( 2n + 1)    x →∞ n 3 6  

A = 18 unidades

Para nuestra nueva...