Preicfes

DINÁMICA DE LA ROTACIÓN 3.5. Movimiento Armónico Simple. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación x = Acos(ωt +δ ) donde A, ω, y δ son constantes del movimiento. Esta es una ecuación periódica y se repite cuando ωt se incrementa en 2π radianes.Para dar un significado físico a estas constantes, es conveniente graficar x en función de t, como se muestra en la figura 343. La constante A se llama amplitud del movimiento, es simplemente el máximo desplazamiento de la partícula, ya sea en la dirección positiva o negativa de x. La constante ω se llama frecuencia angular, el ángulo δ se llama ángulo o constante de fase, y junto con la amplitudquedan determinados por el desplazamiento y velocidad inicial de la partícula. Las constantes A y δ nos dicen cual era el desplazamiento en el instante t = 0. La cantidad (ωt + δ) se llama la fase del movimiento y es de utilidad en la comparación del movimiento de dos sistemas de partículas.

Figura 343 El periodo T es el tiempo que demora la partícula en completar un ciclo de su movimiento, estoes, es el valor de x en el instante t + T. Se puede demostrar que el periodo del movimiento esta dado por T = 2π/ω, sabiendo que la fase aumenta 2π radianes en un tiempo T:

Comparando, se concluye que ωT = 2π, o

Al inverso del periodo se le llama frecuencia f del movimiento. La frecuencia representa el número de oscilaciones que hace la partícula en un periodo de tiempo, se escribe como:Las unidades de medida de f en el SI son 1/s o ciclos/s, llamados Hertz, Hz. Reacomodando la ecuación de la frecuencia, se obtiene la frecuencia angular ω, que se mide en rad/s, de valor:

La velocidad de una partícula que tiene un movimiento armónico simple se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación del movimiento armónico simple

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3.5. Movimiento Armónico Simple.DINÁMICA DE LA ROTACIÓN La aceleración de la partícula está dada por dv/dt:

Como x = Acos(ωt +δ ) , se puede expresar la aceleración en la forma: a = - ω2x De las ecuaciones de velocidad y de aceleración, teniendo en cuenta que los valores extremos de las funciones seno o coseno son ± 1, sus valores extremos máximos o mínimos son: v = ±ωA a = ±ω2A Las curvas de posición, velocidad y aceleración con eltiempo se muestran en la figura 344. En estas curvas se ve, (figura 344.b), como la fase de la velocidad difiere en π/2 rad o 90º con la fase del desplazamiento. Esto es, cuando x es un máximo o un mínimo, la velocidad es cero. De igual forma, cuando x es cero, la rapidez es un máximo o un mínimo. Del mismo modo, como la fase de la aceleración difiere en π rad o 180º con la fase deldesplazamiento, (figura 344.c), cuando x es un máximo o un mínimo, la aceleración es un mínimo o un máximo.

Figura 344 De la definición de energía cinética, reemplazando la ecuación de la rapidez de una partícula con movimiento armónico simple, se obtiene: Ec = ½ mv2 = ½ mω2 A2 sen2 (ωt +δ) La energía potencial elástica almacenada en un resorte, para cualquier deformación x es: EE = ½ kx2 = ½ kA2cos2 (ωt+δ) La energía mecánica total en el movimiento armónico simple, considerando que ω2 = k/m o bien mω2 = k, se puede escribir como: E = Ec + EE = ½ kA2 [sen2 (ωt +δ)+ cos2(ωt +δ)] E = ½ kA2 De donde se deduce que la energía mecánica total en el movimiento armónico simple es una constante del movimiento, proporcional al cuadrado de la amplitud. Este valor es igual a la máxima energía potencialelástica almacenada en un resorte cuando x = ± A, ya que en esos puntos v = 0 y no hay energía cinética. Por otro lado, en la posición de equilibrio, x = 0 y por lo tanto EE= 0, además en este punto la rapidez es la máxima, de tal manera que toda la energía es energía cinética, es decir en x = 0: E = Ec = ½ mv2máx = ½ ω2A2.
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DINÁMICA DE LA ROTACIÓN Como la...