Prepociciones Verdaderas

Proposiciones verdaderas



En Geometría se utilizan las proposiciones que son enunciados de hechos como una ley, o un principio, o una cuestión por resolver. También se conocen como un encadenamiento de reglas prácticas que se suponen verdaderas, de tal manera que se obtengan mejores resultados.
Hay ciertas proposiciones que se utilizan en matemáticas, a las que se les ha dado nombresespeciales y son: el axioma, el postulado, el lema, el teorema, el corolario y el problema.

• Axioma.- Es una proposición que siendo tan evidente se admite sin demostración.

• Postulado.- Es una proposición cuya verdad no es tan evidente como un axioma, pero se admite sin demostración.

• Lema.- Es una proposición que nos sirve como base para demostrar unteorema.

• Teorema.- Es una proposición cuya verdad no es evidente y necesita ser demostrada. El teorema consta de dos partes: la hipótesis, que enuncia lo que se supone y la conclusión o tesis que enuncia lo que hay que demostrar.

• Corolario.- Es una proposición que es consecuencia inmediata de otra y cuya demostración requiere de poco o ningún razonamiento nuevo.Generalmente es consecuencia de un teorema.

• Problema.- Es una proposición que plantea una cuestión por resolver.



















RELACION ENNTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Conceptos fundamentales
La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos:ω El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
[pic]
ω La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de imprenta minúscula.
[pic]
ω El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con una letra griega.
[pic]
[pic]
Relacionesfundamentales
Los tres conceptos anteriores están relacionados a través de las relaciones de pertenencia e inclusión:
ω Los puntos pertenecen a las rectas y los planos.
[pic]
ω Las rectas están incluidas en los planos.
[pic]


































Ejemplos de aplicación

• Demostrar que dos funciones continuas sobre un mismo intervalotoman el mismo valor en al menos un punto del intervalo.
Sean f y g dos funciones continuas sobre un intervalo no vacío [a;b] de R, tales que g(a)-f(a) y g(b)-f(b) sean de signo contrario. Existe al menos un real c comprendido entre a y b y tal que f(c) = g(c).
En efecto, sea φ = f - g. La función φ es continua, y el 0 está comprendido entre φ(a) y φ(b). Existe entonces al menos un real ccomprendido entre a y b y tal que φ(c) = 0, lo cual implica f(c) = g(c).
• En el caso particular donde g es la identidad sobre el intervalo [a;b] y donde f(a) > a y f(b) < b, se obtiene un teorema de punto fijo (Teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 1).
• El problema se puede reformular como: «Demostrar que dos funciones se cortan en un punto» y aplicar el Teorema de Bolzanodefiniendo la misma función f(x) - g(x).
• Demostrar que para todo polinomio P a coeficientes reales y de grado impar, existe al menos una raíz real, es decir un número real c tal que P(c) = 0
En efecto, se puede suponer (sin pérdida de generalidad) que el coeficiente del término de mayor grado de P es igual a 1. Al ser de grado impar, P(x) tiende a [pic]cuando x tiende a [pic], y P(x) tiende a[pic]cuando x tiende a [pic]. Se deduce que existe un real a tal que P(a) ≤ 0 y un real b tal que P(b) ≥ 0. Como la función polinómica P es continua, existe al menos un real c comprendido entre a y b y tal que P(c) = 0.








Suma de ángulos


Gráfica


La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.


[pic]...