Present Bairstow

Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela Ingeniería en Electrónica
Curso: Métodos Numéricos
Método de Bairstow

Profesor:
Ing. Marvin Hernández C
II Semestre 2008

Agenda
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INTRODUCCIÓN
PRESENTACIÓN DEL MÉTODO
CARACTERÍSTICAS
EJEMPLOS

INTRODUCCIÓN
El método de Bairstow es utilizado para
encontrar las n-raíces de un polinomio. El
método de Bairstow es un proceso
iterativo relacionadocon los métodos de
Müller y Newton-Raphson.
Es importante que recuerde la forma
factorizada de un polinomio:

f 5 ( x) ( x  1)( x  4)( x  5)( x  3)( x  2)

Método de Bairstow
El método de Bairstow es un proceso
iterativo relacionado con los métodos
de Müller y Newton-Raphson

f 5 ( x) ( x  1)( x  4)( x  5)( x  3)( x  2)

Se basa en…


Por lo general, en esta aproximación
el procesomatemático depende de
dividir el polinomio entre un factor
(que no sea raíz). Por ejemplo, el
polinomio general
2

f n ( x) a 0  a1 x  a 2 x  ...  a n x

n

Se divide por un factor x-t



Y se tiene un polinomio de menor grado
fn-1(x) = b1+b2x+b3x2+…….+bnxn-1



Con residuo R=b0



Los coeficientes se calculan por una relación de
recurrencia bn=an; bi=ai+bi+1t para i=n-1 a 0



Si t esuna raíz, b0 será cero



Para raíces complejas se divide el polinomio entre un
factor cuadrático x2-rx-s
Para el polinomio original la división dará
fn-2(x)=b2+b3x+…+bn-1xn-3+bnxn-2 ; R=b1(x-r)+b0






Como en la división sintética normal
la relación de recurrencia mostrada
abajo se utiliza para la división entre
el factor cuadrático

bn a n
bn  1 a n  1  rbn

i n  2 a 0

bi ai rbi 1  sbi 2



Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden
obtenerse por división sintética de las b en forma
similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron
derivadas:

cn bn
cn  1 bn  1  rc n
ci bi  rc i 1  sci 2

i n  2 a 1

Si x2-rx-s es un divisor exacto:


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





Las raíces complejas se determinan con la fórmula cuadrática.
Así, lo que se hace esdeterminar r y s para que el factor sea un
divisor exacto del polinomio (residuo cero).
Se busca que b0 y b1 tiendan a cero. Éstos son funciones de r y
s y se usa expansión en serie de Taylor.
b1(r+Δr, s+Δs)=b1+(∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs
b0(r+Δr, s+Δs)=b0+(∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs que se evalúan en r y
s
La ecuación anterior se iguala a cero con lo que:
(∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs = -b1 y (∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs = -b0

Entonces, las derivadas parciales se obtienen
por división sintética de las b. Así, las derivadas
pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores
junto con las b para dar:

c 2 r  c3 s  b1
c1 r  c 2 s  b0



Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden
obtenerse por división sintética de las b en forma
similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron
derivadas:

cnbn
cn  1 bn  1  rc n
ci bi  rc i 1  sci 2

i n  2 a 1



Para mejorar los valores iniciales de
r y s. en cada paso, el error
aproximado en r y s puede ser
estimado como en:
r
 a ,r  100%
r

y

 a,s

s
 100%
s



Cuando ambos errores estimados
fallan bajo un criterio especificado de
paro, , los valores de las raíces
pueden determinarse como:

r  r 2  4s
x
2

Ejemplos:
Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale

Tenemos que
f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2
Obtenemos como solución tres valores de
raíces
x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278

Tabla de Valores
ITERACIÓN

r

s

Nuevo r

Nuevo s

Δr

Δs

1

1

-1

1.085

-0.1128

1.085

0.887

2

1.085

-0.1128

2.49

-0.67

0.402

-0.556

3

2.49

-0.876

2.426

-0.876

-0.064

-0.206

4

2.426

-0.876

2.43

-0.87

0.0076

0.0045





Obteniendo finalmente un
acercamiento a los valores de raíces:
x1= 1.999
x2= 0.4357
x3 = 3,278

Ejercicio 7.3(Chapra, Canale)
Tenemos que


f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25

Averiguando r y s después de 4 iteraciones se
obtiene que:
εa,r =55.23% εa,r =824.1 %

x1=0.5 y x2=-1

Quedando como cociente el polinomio:
f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5
Utilizando el mismo método después de...