Presentación

MÉTODOS PARA OBTENER LOS CENTROIDES E INERCIAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.

Centro de gravedad.
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
Un cuerpo rígido está compuesto de un número infinito de partículas. Elcentro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partículas. Para mostrar cómo determinar ese punto, se considera el sistema de n partículas fijas dentro de una región del espacio del cuerpo rígido.

Para calcular el centro de gravedad de figuras planas, muchas veces resulta fácil ubicarlos, siempre y cuando la figura tenga unos ejes de simetría. No obstante, existendos métodos para hallar el centroide de un cuerpo, los cuales son el Método de las Áreas y el Método de Integración Directa, en figuras geométricas planas.

Método de las Áreas:
Método de las áreas:
Ejercicio 1: Calcular la ubicación del Centroide de la siguiente figura geométrica.

Solución:
Como primer paso se fija el sistema de coordenadas rectangulares que nos servirá de referencia:Posteriormente dividimos la figura en áreas más simples de centroides conocidos.

Calculamos las áreas de las tres figuras conocidas:
Área A1 (Triángulo): Base por altura entre dos.
A1=b.h2=3(3)2=92=4,5
Área A2 (Rectángulo): Base por altura.
A2=8*2=16
Área A3 (Rectángulo): Base por altura.
A3=3*4=12
Los ejes centroidales de una figura plana vienen dados por las siguientes fórmulas:xcentroide=A1.x1+A2.X2+A3.X3+…+An.XnA1+A2+A3+…+An

ycentroide=A1.Y1+A2.Y2+A3.Y3+…+An.YnA1+A2+A3+…+An



Donde “Ai” es el área de la figura simple estudiada, “Xi” es la abscisa del centroide de dicha figura simple y “Yi” la ordenada del centroide de la misma figura simple.
Es bueno recordar que elcentroide de un triangulo rectángulo está ubicado a un tercio de su base y a un tercio de su altura.

El centroide de un rectángulo está ubicado a un medio de su base y a un
medio de su altura.

Luego, resulta más cómodo determinar los valores de “X” y “Y” del centroide de cada una de las figuras simples para incluirlas en la fórmula respectiva, tomando en cuenta el sistema decoordenadas de referencia.

Estudiando la figura 1 (Triángulo):
X1 = 1
Y1 = 3
Estudiando la figura 2 (Rectángulo):
X2 = 4
Y2 = 1
Estudiando la figura 3 (Rectángulo) :
X3 = 6,5
Y3 = 4

Con toda esta información el problema se limita a introducir estos valores en las dos fórmulas:
xcentroide=A1.x1+A2.X2+A3.X3+…+An.XnA1+A2+A3+…+Anycentroide=A1.Y1+A2.Y2+A3.Y3+…+An.YnA1+A2+A3+…+An
xcentroide=4,51+164+12(6,5)4,5+16+(12)=4,5+64+7832,5=146,532,5=4,51

ycentroide=4,53+161+12(4)4,5+16+12=13,5+16+4832,5=77,532,5=2,38
El centroide de la figura completa estará ubicado en:

Para calcular el centroide de una figura plana que está limitada por arriba por la función “f(x)”, por debajo por la función “g(x)”, por la izquierda por la recta “X = a”y por la derecha por la recta “X = b”; se utilizan las siguientes fórmulas:

=abxfx-gxdxA =12ab[fx2-g(x)2]dxA
Donde “A” representa el área de la figura plana a la que se le está calculando el centroide.

A=ab[fx-g(x)]dx





Calcular la ubicación del Centroide de la región acotada por “Y = X2” y
“Y =X ”
Solución:
El primer paso consiste en graficar las dosfunciones para determinar cuál queda ubicada arriba y cuál debajo. Igualmente se deben calcular los puntos de intersección de las dos funciones para conocer los índices superior e inferior de la integral definida.


Una vez hecha la gráfica podemos decir que:
f(x) = “Y = X”
g(x) = “Y = X2”

a = 0
b = 1
A=01x-x2dx=x22-x3301=12-13=16
=abxfx-gxdxA=01x(x-x2)dx16=601(x2-x3)dx...