Presentaci N MAS

El Sistema Armónico Simple y el resorte

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La fuerza del resorte
 Observe la fuerza necesaria para comprimir o extender un
resorte
• Al estirar el resorte un poco, éste ofrece poca resistencia
• Al estirar el resorte bastante, éste ofrece mucha resistencia
• Entre mayor es la fuerza sobre el resorte, mayor es la
resistencia que el resorte ofrece
 La fuerza ejercida por el resorte esproporcional a la
distancia que el resorte se extiende
• Fs = -kx
 La constante k se conoce como la constante del resorte
 El signo menos indica que la fuerza es en dirección opuesta
al desplazamiento x
 Esta ecuación se conoce como la Ley de Hooke
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¿Cómo determinar la constante del resorte?
 Para determinar la constante
del resorte, empezamos con el
resorte colgando
verticalmente
 Luego agregamosun peso
conocido al resorte y medimos
el desplazamiento a partir del
punto de equilibrio

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Trabajo hecho por la fuerza de un resorte
 Fuerza del resorte:

Fs ( x)  kx
 Trabajo hecho al cambiar la posición de una masa sujeta a un
resorte, desde x0 a x:
x

Ws   Fs ( x ')dx ' 
x0

x

  kx ' dx '

x0

x

 k  x ' dx '   kx
1
2

x0

2 x
x0

W   12 kx 2  12 kx02
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Ejemplo:Comprimiendo un resorte (1)
Un resorte sin masa sobre una superficie horizontal lisa se comprime 4.35
cm, gracias al efecto de una fuerza de 63.5 N. Luego una bola de acero de
masa 75 g es ubicada en frente del resorte y éste se libera.

Pregunta:
 ¿Cuál es la velocidad de la bola al ser lanzada por el resorte?

Respuesta:

 Primero, necesitamos calcular
la constante del resorte, k:

x
v=0

x0

v=?
5Ejemplo: Comprimiendo un resorte (2)
 Para calcular el trabajo usamos la expresión para el resorte
con: x0 = 0 y x = 0,0435 m
1
𝑁
3
= − 1.46𝑥10
2
𝑚

4.35𝑥10−2 𝑚

2

= −1.38𝐽

 Cuando el resorte se libera, ejerce 1.38 J de trabajo sobre
la bola de acero.
 Teorema Trabajo-Energía cinética: La energía cinética de la
bola al pasar por x0 es K = 1.38 J.
 Con

K = mv2/2:

𝑣=

2𝐾
=
𝑚

2 1.38𝐽
𝑚
=6.1
0.075𝑘𝑔
𝑠
6

Fuerza Lineal: Ley de Hooke (2)
 Desplazameinto x > 0  F < 0
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x0

F(x)

x

 Desplazamiento x < 0  F > 0

F(x)

x0

x

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Movimiento Armónico Simple
 Ya estudiamos la energía almacenada en el
resorte,
 Ahora estudiemos el movimiento de una masa en
el resorte
• Estire el resorte y luego suéltelo

Movimiento de sube y baja – sube y baja
 Estudie el video y…
• Ahora las tomas lado a lado

La curva roja: función seno o coseno

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Ecuación del movimiento
 Empiece con la ley de Hooke y luego combínela con la 2da Ley
de Newton:
F  ma  kx
 Con

:

d2x
m 2  kx
dt

d2x k
 x0
2
dt
m

 Esta ecuación relaciona la posición (función del tiempo) con
la segunda derivada de la posición
 Esta es unaecuación de segundo orden, lineal en el tiempo

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Solución a la ecuación diferencial (1)
 Empezando con un Ansatz (educado prueba y error en
alemán) :

 Con las constantes A (amplitud) y 0 (frecuencia angular)
todavía por determinar
 Calcule la segunda derivada:

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Solución a la ecuación diferencial (2)
 Sustituya estos resultados en la ecuación diferencial
original:
d2x k
 x0
2
dt
m

1era Observación: la solución sirve para todo valor de A
 2da Observación: la frecuencia angular es

0 

k
m
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Solución a la ecuación diferencial (3)
 La función coseno también habría servido
 La solución general es

Otra forma útil de la misma solución es

 Constante de fase ,
amplitud C función de A y B:

C  A2  B2

 0  tan (A / B)
1

0 

k
m
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Condiciones Iniciales
¿Cómo determinar las constantes A y B, o C y 0?
 Para ello utilizamos las condiciones iniciales
• Posición inicial

x0  x(t  0)
• Velocidad inicial

v0  v(t  0)  (dx / dt) t 0
 Dos ecuaciones para dos incógnitas

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Ejemplo: condiciones iniciales (1)
Pregunta 1:
 Un resorte con constante 56.0 N/m tiene una masa de 1,00
kg atada a su extremo. La masa se jala +5,5 cm fuera de su
punto de...