Presentacion

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Introducción:
1. Una ecuación en derivadas parciales (EDP) de orden es una ecuaciónen la que aparece una función desconocida que depende (al menos) de dos variables reales, junto a algunas de sus derivadas parciales hasta orden n. Cuando la función incógnita solo depende de unavariable real, se trata de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n.

2. Se dice que una EDP es lineal si es lineal respecto de la función desconocida y de todas sus derivadas parciales. Enotro caso, se dice que es no lineal.

Dada una función , es habitual utilizar la siguiente notación abreviada para designar sus derivadas Parciales




A partir de ahora, supondremos que lasfunciones que manejamos son suficientes regulares de forma que todas las derivadas parciales que aparecen estén bien definidas y sean continuas.
Por otra parte, si la función u es de clase en un ciertodominio (existen todas las derivadas parciales hasta orden 2 de dicha función y son continuas en el dominio), se sabe que , gracias al teorema de Schwarz (igualdad de las derivadas cruzadas). Porello, en las EDP de segundo orden solo aparecerá (y no ). En general, es irrelevante el orden en el cual se aplican k( ó menos)derivadas parciales a una función de clase en un cierto dominio.

1. UnaEDP lineal de primer orden:
2. Una EDP no lineal de primer orden:
3. Algunas EDP lineales de segundo orden:
a) (Ec.de Laplace)
b) (Ec. Del calor)
c) (Ec. De ondas)
4. Una EDP no lineal desegundo orden:

Por regla general, al interpretar una EDO de orden n aparecen n constantes arbitrarias. De la misma manera, al integrar EDP de orden n, es habitual que aparezcan n funcionesarbitrarias. Por ejemplo, la EDP lineal de primer orden , tiene como solución , donde f es una función arbitraria que solo depende de x. Del mismo modo, dad la EDP lineal de segundo orden , al integrarla...