Presentación sobre algebra matricial

Aplicaciones de herramientas estad´ ısticas en investigaciones ecol´gicas y de biodiversidad I. o

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot´ a Kenneth Roy Cabrera Torres
8 de octubre de 2008

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Tabla de contenido
Tabla de contenido Elementos b´sicos a de ´lgebra matricial a ´ Algebra Matricial

Tabla de contenido Elementos b´sicos de ´lgebra matricial a a ´ Algebra MatricialMatriz de datos ecol´gicos o

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Tabla de contenido Elementos b´sicos a de ´lgebra matricial a ´ Algebra Matricial

Elementos b´sicos de ´lgebra matricial a a

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Tabla de contenido Elementos b´sicos a de ´lgebra matricial a ´ Algebra Matricial Matriz de datos ecol´gicos o

´ Algebra Matricial

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Matriz de datos ecol´gicos o
Tabla de contenido Elementos b´sicos ade ´lgebra matricial a ´ Algebra Matricial Matriz de datos ecol´gicos o

A = An×p

    =  ai1   .  . . an1



a11 a21 . . .

a12 · · · a1j a22 · · · a2j . . . . . . . . . ai2 · · · aij . . . . . . . . . an2 · · · anj

· · · a1p · · · a2p . . . . . . · · · aip . .. . . . · · · anp

         

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Tipos de matrices
Tabla de contenido Elementos b´sicos ade ´lgebra matricial a ´ Algebra Matricial Matriz de datos ecol´gicos o

Cuadradas. An×n = Ann . Diagonal. Identidad. I, Escalar. aI, a ∈ R. Nula. 0 Triangular. Transpuesta. Bn×m , Bm×n , B T . Sim´trica. S = S e

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Vectores y escalamiento
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Vector columna:  b1 b2 . . . bn    

b = bn×1

  = bn =  

Vector fila: a = a1×m = am = Norma de un vector: ||b|| = b2 + b2 + · · · + b 2 n 1 2 a1 a2 · · · am

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Multiplicaci´n de Matrices o
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Producto escalar o producto interno:  bc = b · c = b1 . . . bn

c1  .   .  = b1 c 1 + · · · + bn c n . cn Anm como: a1 , . . . , an y . . . a1 · bp  . . . .  . . . . . an · bp 



Producto de matrices: Si denominados a las n filas de la matriz a las columnas de B mp como b1 , . . . , bp  a1 · b1  . . AB = (AB)np =  . an · b1

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Determinante
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Determinante deuna matrix 2 × 2 |B| = Dependencia lineal: a=
i=1

b11 b12 b21 b22
p

= b11 b22 − b12 b21

λi bi

Independencia lineal: Si no es posible hallar contantes c1 , c2 , . . . , cn al menos una distinta de cero que satisfaga:
n

c1 a1 + c2 a2 + · · · + cn an =
i=1

ci ai = 0

Entonces a1 , a2 , . . . , an son linealmente independintes.
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Rango de una matriz
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El rango de una matriz n × p es m´ ınimo entre el n´mero de u filas linealmente independientes o el n´mero de de columnas u linealmente independientes. Si el rango de una matriz es igual al m´ ınimo entre n y p entonces se dice que es una matriz de rango completo. En una matriz cuadrada ´l n´mero defilas linealmente e u independientes es igual al n´mero de columnas linealmente u independientes. Si la matriz A es cuadrada n × n es de rango completo, tanto sus filas como sus columnas son linealmente independientes.

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Formas cuadr´ticas a
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Si A es una matriz cuadrada dedimensi´n n y x es un vector o columna de dimensi´n n entonces una forma cuadr´tica expresada o a de manera matricial es: x Ax Una matriz sim´trica A es definida positiva si para cualquier vector e x(exceptuando x = 0) x Ax > 0. Similarmente, una matriz sim´trica A es semidefinida positiva si e para cualquier vector x(exceptuando x = 0) x Ax ≥ 0. Si A = B B donde B es de dimensi´n n × p y n > p y...