Presentación

BOLETIN II

Las tablas donde calcularemos las probabilidades de la curva normal son llamadas tablas de la función acumulada. Esto significa que se han elegido valores de z que aumentan gradualmente desde el valor de -3.79, -3.78, -3.77,..., 0,...,3.77, 3.78, 3.79, es decir de centésima a centésima, y para cada valor de z se calcula el área a la izquierda de él. Esas tablas tienen 3 columnas;una encabezada por z, la segunda columna encabezada por Φ(z) y la tercera por Φ(-z). Su uso es muy sencillo. Cuando se transforma el valor de la variable x mediante la ecuación (1), se obtendrá un valor de z ya sea positivo o negativo. Para hallar el valor del área cubierta por el valor resultante de z, se usará la columna 2 o 3 según el signo calculado de z (pues este es el significado de Φ(z) y deΦ(-z), es decir, el área bajo z positivo y el área bajo z negativo respectivamente). Antes de hacer un ejercicio, se debe anotar que es común calcular tres tipos de probabilidades acumuladas para una variable aleatoria normal, que son las siguientes:

* P(x ≤ a) = Φ(a). La probabilidad de que x sea menor o igual que a. (La desigualdad ≤, también se interpreta como, “a lo más”, “máximo” o“por lo mucho”)

* P(a ≤ x ≤ b) = Φ(b) - Φ(a). La probabilidad de que x esté entre a y b. Aquí se incluye los valores extremos en el cálculo.

* P(x ≥ a) = 1- P(x < a) = 1 - Φ(a), L probabilidad de que x sea mayor o igual a a. (La desigualdad ≥, también se interpreta como, “al menos”, “mínimo” o “por lo menos”)

Las desigualdades anteriores también se usan con los símbolos < y >y se leen menor que y mayor que respectivamente. Sin embargo, si en las 3 fórmulas anteriores sustituimos ≤ por <, ≥ por > (y viceversa), las fórmulas resultantes se calculan exactamente igual que como se indicó en las fórmulas dadas.

Por ejemplo, resolvamos el siguiente ejercicio:

Ejercicio: El peso de un bebé al nacer en un hospital es normal con una media de 2.5 kg y unadesviación estándar de 0.5 kg. Si un bebé está por nacer, ¿cuál es la probabilidad de que pese:
a) por lo mucho 2 kg?
b) menos de 1.7 kg?
c) máximo 2.9 kg?
d) entre 2 y 3 kg?
e) entre 1.8 y 2.2 kg?
f) al menos 2 kg?
g) más de 1 kg?
h) por lo menos 3.3 kg?

Solución
a) Denotamos la probabilidad pedida:

P(x ≤ 2)

Usamos la ecuación de estandarización

yreescribimos la probabilidad pedida

Φ(-1) = P(z ≤ -1)

Como z es negativa, buscamos el área de la región que se cubre bajo ella en la primer columna. Primero buscamos 1 en la columna de z y luego el área en la fila donde está ese valor que está en la columna encabezada por Φ(z). El resultado es 0.1587. Esto significa que

P(x ≤ 2) = 0.1587.

El proceso anterior puede simplificarse de lasiguiente manera:

P(x ≤ 2) = Φ(-1) = 0.1587

Considerando que ya se hizo la estandarización de 2.

Gráficamente la probabilidad se representa como en la siguiente figura:


b) P(x < -1.7) = Φ(-1.6) = P(z < -1.6) = 0.0548


c) Se deja como ejercicio.

a) P(2 ≤ x ≤ 3) = Φ(1) - Φ(-1) = P(z < 1) - P(z < -1) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6827.



b) P(1.8 ≤ x ≤ 2.2) =Φ(-0.6) - Φ(-1.4) = P(z < -0.6) - P(z < -1.4) = 0.2743 – 0.0808 = 0.1935.





c) P(x ≥ 2) = Φ(-1) = P(z ≥ -1) = 1 – 0.1587 = 0.8413



d) P(x > 1) = Φ(-3) = P(z > - 3) =1 - 0.0013 = 0.9987





Observa que en esta gráfica la probabilidad es casi 1, excepto por una pequeña región no cubierta en la cola izquierda de la distribución.

Finalmente existen casos enlos que se piden probabilidades de pesos (o de otra variable normal) que al estandarizarlos no aparecen en tablas. Por ejemplo, si se calculara la probabilidad de que el peso de un bebé al nacer fuera mayor que 6, al estandarizar este valor se tendría z = 7, valor que no está en tablas. Sin embargo el área que se cubrirá por encima de este valor es 0, porque se pide el área de la región que...