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CAPITULO 4: CÁLCULO INTEGRAL 4.1. Primitivas e integración indefinida Hasta este instante hemos resuelto el problema: dada una función, hallar sui derivada. En muchas aplicaciones importantes aparece el problema inverso: dada la derivada de una función, hallar la función original. Por ejemplo: Hallar una función F cuya derivada es F’(x)=3x2. Como

d 3 ⎡ x ⎤ = 3x 2 ,entonces la respuesta es F(x) = x3 dx ⎣ ⎦

La función F se llama antiderivada de F’. Conviene usar la frase: F(x) es una antiderivada de f(x). En d 3 ⎡ x + 4 ⎤ = 3x 2 , entonces también es respuesta F(x) = x3 + 4. Más aun, la efecto, como también ⎦ dx ⎣ 3 derivada de x + C, siendo C una constante cualquiera, implica que la respuesta será: F(x) = x3 + C. Definición: Una función F se llamaantiderivada (o primitiva) de una función f, si F ‘(x) = f(x). Luego, un primer resultado sería: Si F es una antiderivada de f, entonces G es una antiderivada de f si y sólo si G es de la forma G(x) = F(x) + C donde C es una constante arbitraria. Notación: Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una solución de la ecuación dy = f(x) dx Note que efectivamente se trata de unaecuación pues hay una igualdad y una incógnita, la función y. Dado que la incógnita está sufriendo la acción de la derivada, esta ecuación se llama ecuación diferencial. Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribirla en su forma diferencial equivalente dy =f(x)dx La operación que permite hallar todas las soluciones (o solución general) de esta ecuación se llama integración yse denota por el símbolo .

∫

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donde f(x) se llama integrando, la diferencial que acompaña a f(x) nos indica la variable de integración y C se llama constante de integración. La expresión

∫ f(x)dx

se llama integral indefinida de f respecto de x. Los términos integral

indefinida y primitiva general son sinónimos. El hechoque una operación sea la inversa de la otra, se refleja de la siguiente manera: • La integración es la inversa de la derivación: basta sustituir F’(x) por f(x) en la definición anterior:

∫ F '(x)dx = F(x) + C
• La derivación es la inversa de la integración:

d ⎡ f(x)dx ⎤ = f(x) ⎦ dx ⎣ ∫
pues

∫ f(x)dx = F(x) + C .

Esta relación entre derivación e integración, nos permite obtener algunasfórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación. En efecto REGLAS BASICAS DE INTEGRACIÓN Fórmulas de derivación Fórmulas de integración

d [c ] = 0 dx
d [kx ] = k, k ≠ 0 dx

∫ 0dx = C ∫ kdx = kx + C,
k≠0

d [kf(x)] = kf '(x) dx d [ f(x) ± g(x)] = f '(x) ± g'(x) dx d n ⎡ x ⎤ = nx n−1 dx ⎣ ⎦
Ejemplos:

∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx ∫ [ f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
n∫ x dx =

xn+1 + C, n ≠ −1 n +1

1.

⎛ x2 ⎞ 3 3xdx = 3∫ xdx = 3 ⎜ ⎟ + C = x 2 + C ∫ 2 ⎝ 2⎠
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2.

∫ ( 3x

2

3 2 + 2x dx = ∫ 3x 2 dx + ∫ 2xdx = x 3 + x 2 + C = x 3 + x 2 + C 3 2

)

1 x −2 1 dx = ∫ x −3 dx = + C =− 2 + C 3. ∫ x 3 −2 2x

4.

∫

x xdx = ∫ x dx = 3
1 2

3

2

+C=

2

2 32 x +C 3

3x 2 − 4 4−2 5. ∫ x 2 dx = ∫ 3 − 4x dx = 3x + x + C

(

)

4.2 Condiciones iniciales y soluciones particulares

Hemos dicho que la ecuación y =∫f(x)dx admite infinitas soluciones que difieren en una constante. Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una de la otra. Por ejemplo, en la figura de la izquierda mostramos varias gráficas de primitivasde la forma: y = (3x 2 − 1)dx = x 3 − x + C (solución general) para diversos valores enteros de C. Cada una de esas primitivas es una solución de la ecuación
dy dx

∫

= 3x 2 − 1

Una solución particular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de la constante C.

En muchas aplicaciones de la integración, hay información suficiente como para conocer...