prestamos

TEMA
5:
PRÉSTAMOS

OPERACIÓN

DE

AMORTIZACIÓN.

1. PLANTEAMIENTO GENERAL
Recibe esta denominación toda operación de prestación única y contraprestación múltiple:
Prestación: {(C0, t0)}
Contraprestación: {(a1, t1), (a2, t2), …, (an, tn)}
El capital de la prestación recibe la denominación de capital prestado, nominal o principal.
Los capitales de la contraprestación tienen comofinalidad la devolución del capital
prestado y el abono de los intereses devengados por el aplazamiento de pago y se
denominan términos amortizativos.1
C0

a1

t0

i1

t1

a2
i2

as-1

t2

as

ts-1

is

ts

as+1
is+1 ts+1

an
tn-1 in

tn

La operación de amortización se plantea en base a una ley de capitalización compuesta de
manera que las ecuaciones deequivalencia vienen dadas por las siguientes expresiones:
-En el origen, t0:

C 0 = a 1 (1 + i1 ) −1 + a 2 (1 + i1 ) −1 (1 + i 2 ) −1 + ...... + a n (1 + i1 ) −1 .......(1 + i n ) −1 =
n

r

r =1

[1.]

h =1

= ∑ a r ∏ (1 + i h ) −1
-En el final, tn:

C 0 ⋅ (1 + i1 ) ⋅ (1 + i 2 )...(1 + i n ) = a 1 ⋅ (1 + i 2 )...(1 + i n ) + a 2 ⋅ (1 + i 3 ) ...(1 + i n ) + ...... + a n −1 ⋅ (1 + i n ) + an
n

n −1

n

h =1

r =1

h = r +1

C 0 ∏ (1 + i h ) = ∑ a r ∏ (1 + i h ) + a n

[2.]
La reserva matemática, o saldo financiero, de la operación en una fecha arbitraria ts,
denotada por Cs, tiene la interpretación de deuda pendiente de amortizar (capital vivo) en el
momento de su cálculo. Salvo que se diga lo contrario se calcula con el capital vencido esto
es, asumiendo que sivence algún término amortizativo en la fecha ts, se ha producido el
pago de dicho término amortizativo, as.
Si se conoce con certidumbre la cuantía de todos los flujos de caja futuros pertenecientes a
la contraprestación, podrá emplearse para el cálculo de dicha reserva el método
prospectivo:

1

Nótese, sin embargo, que en el mercado financiero, habitualmente los capitales de lacontraprestación
reciben la denominación de “cuotas”, lo cual puede llevar a confusión con otra de las variables empleadas
en este tipo de operaciones, a la cual se hará referencia con posterioridad.

1

Rs = C s =

n

r

r = s +1

h = s +1

∑ ar ∏ (1 + ih ) −1

[3.]

Y, por supuesto, siempre podrá calcularse la reserva por el método retrospectivo:
⎡s−1
⎤
s
s
C s = C 0 ∏ ⎛1 + i h⎞ − ⎢ ∑ a r ∏ ⎛ 1 + i h ⎞ + a s ⎥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎠ ⎢ r =1 h =r +1 ⎝
h =1 ⎝
⎥
⎣
⎦

[4.]

La evolución del capital vivo a lo largo de la operación se obtiene a partir del cálculo de la
reserva por el método recurrente. Así, la reserva en ts calculada a partir de la reserva en ts-1
será:

C s = C s−1 (1 + i s ) − a s

[5.]

de forma que operando se llega a:
a s = ⎛ C s−1 − Cs ⎞ +Cs−1i s = A s + I s
⎜
⎟
⎝
⎠

[6.]

donde:
As : se denomina cuota de amortización y se define como la variación sufrida por el
capital vivo durante el periodo (ts-1,ts].
Is : se denomina cuota de interés del periodo (ts-1,ts] y se define como el producto del
capital vivo en ts-1 por el tipo de interés del periodo.
as : es el término amortizativo, suma de las dos cuantías anteriores.
Esimportante recordar que en toda operación financiera de amortización la cuantía
del término amortizativo se destina en primer lugar al pago de la cuota de interés y
que, sólo en el caso de que sea superior a ésta, existirá amortización del capital, o,
lo que es lo mismo, cuota de amortización mayor que cero.
De la definición de cuota de amortización se desprenden de forma inmediata lassiguientes relaciones:
n

C0 = ∑ A h
h =1

n

s

h =s+1

h =1

Cs = ∑ A h = C 0 − ∑ A h

[7.]

pudiéndose introducir, además, una nueva variable Ms, denominada capital amortizado
hasta el momento ts, que se define como:
n

n

s

h =1

h = s +1

h =1

M s = C0 − Cs = ∑ A h − ∑ A h = ∑ A h

[8.]

Todas estas relaciones pueden representarse gráficamente:
C0

I1
A1...