Presunto

Cap´ ıtulo 1

Algebra, Geometr´ y ıa Trigonometr´ ıa
En este primer cap´ ıtulo se presenta una breve descripci´n del ´lgebra necesaria para o a la resoluci´n tanto de ecuaciones como de inecuaciones. A continuaci´n se presentan o o los aspectos b´sicos de la geometr´ plana y de la geometr´ anal´ a ıa ıa ıtica para poder dar t´rmino con una descripci´n de la trigonometr´ y de sus principalesaplicaciones. e o ıa

1.1.

Repaso de algebra b´sica a

Se dar´ por supuesto que el lector est´ familiarizado con las operaciones b´sicas de a a a la aritm´tica. e

1.1.1.

Factorizaci´n o

La propiedad distributiva del producto con respecto a la suma nos dice que podemos escribir el lado izquierdo de 1.1 como el lado derecho de 1.1 (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) = a1 (b1+ b2 + · · · + bn ) + a2 (b1 + b2 + · · · + bn ) + . . . an (b1 + b2 + · · · + bn ) = a1 b1 + a1 b2 + · · · + a1 bn + a2 b1 + a2 b2 + · · · + a2 bn + . . . an b1 + an b2 + · · · + an bn (1.1)

Ahora bien, La factorizaci´n consiste en el proceso inverso. Es decir, consiste en o expresar el lado derecho de 1.1 como el lado izquierdo de 1.1. Notar que el proceso de factorizaci´n consiste enexpresar una suma de t´rminos en el producto de dos (o m´s) o e a

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Algebra, Geometr´ y Trigonometr´ ıa ıa

factores. Si bien la identidad 1.1 representa el caso m´s general de factorizaci´n, en la a o pr´ctica ´sta se reduce a casos mas sencillos como se ilustra a continuaci´n. a e o Ejemplo 1.1.1 Agrupaci´n de t´rminos a pares o e ab + ac + bd + cd = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c)Ejemplo 1.1.2 Diferencia de 2 cuadrados : a2 − b2 = (a + b)(a − b) Ejemplo 1.1.3 Cuadrado de binomio : a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ´ Observacion 1 N´tese que el ejemplo anterior nos dice que en general, o (a + b)2 = a2 + b2 el cual es un error bien frecuente entre los novicios. Ejemplo 1.1.4 3a2 b − ab2 − 5ab = ab(3a − b − 5) Ejemplo 1.1.5 9x2 − Ejemplo 1.1.6 4x2 − 4xy + y 2 = (2x − y)2 No siempre esposible escribir un trinomio (como el del ejemplo anterior) como un cuadrado de binomio. Pero a veces resulta util completar el cuadrado del binomio. Esto ´ se ilustra en el siguiente ejemplo. o Ejemplo 1.1.7 Completaci´n del cuadrado : x2 + 2bx + c = x2 + 2bx + c + b2 − b2 = (x + b)2 + (c − b2 ) Ejemplo 1.1.8 p2 − 5p + 8 = p2 − 5p + 8 + (5/2)2 − (5/2)2 5 = (p − )2 + 7/4 2 1 1 1 = (3x + )(3x − ) 4 22

1.1 Repaso de algebra b´sica a Algunas otras factorizaciones f´cilmente verificables por el lector son : a a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ). a4 − b4 = (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) a5 − b5 = (a − b)(a4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + b4 )

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Adem´s, como se ver´ en el Cap´ a a ıtulo 2, el cuadrado del binomio se extiende o generaliza a exponentes superiores. Como por ejemplo : (x + y)3 = x3 +3x2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 lo que permite efectuar factorizaciones m´s complicadas. a Ejercicio 1.1.1 Factorizar : a3 + 3a2 + 3a + 1 Ejercicio 1.1.2 Probar que: an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + abn−2 + bn−1 ) para cualquier entero positivo n. Ejercicio 1.1.3 Probar que : a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n − a2n−1 b + a2n−2 b − a2n−3 b3 + ... + b2n) Notar que s´lo se puede factorizar cuando los exponentes de ambos sumandos del lado o izquierdo de 1.1.3 son iguales e impares.

1.1.2.

Simplificaci´n de factores o

Se denomina expresi´n racional al cuociente entre dos expresiones polinomiales. Es o decir, una expresi´n racional tiene la forma : o p(x) a0 + a1 x + · · · + an xn = , q(x) b0 + b1 + · · · + bm xm , q(x) = 0

Cabe notar quepara que ´sta expresi´n tenga sentido, el denominador no se debe anular. e o Una expresi´n de ´ste tipo permite, eventualmente, ser simplificada. Dicha simplificaci´n o e o se efect´a dividiendo tanto el numerador como el denominador de la expresi´n racional u o por un mismo factor. De tal modo, el valor de nuestra expresi´n racional permanece o inalterada. Para facilitar la simplificaci´n de una...