Presupuesto

Análisis Estructural

Resumen del método de rigidez

Fundamento teórico
D5 F5 D4 D6 D2 D3 D1 F2 F3 F1 F6 F4

Grados de libertad

Fuerzas generalizadas

Conservación de la energía:

W ext
Fi
Fi 1 2

1 2
j

Fj

j

U

Equilibrio (1º Castigliano):

U
i

Equivale al PTV

Sustituyendo U:
1

Fj
i j

j

Resumen del método de rigidez

Desarrollo teóricoDesarrollando 1º Castigliano con la U:

Fi

U
i

1 2

Fj
i j

j

1 2 Fj
j

Fj
j j i j

Fj

j i

Fi

1 2

Fi

j

i

Fi
j

Fj
j i
2 j j

Pero:

Fj

U
j

Resultado:
2

Fi
j

Fj
i

U
j i

j

Resumen del método de rigidez

Resumen teórico del método de rigidez
Equilibrio:

Fi
j

Fj
j i j

2

U
j i

j

Fi
j

Kij

j

Estasexpresiones de K no son útiles

F1 .. Fi .. .. Fn

K 11 .. .. .. .. Kn1

.. .. .. .. .. K ii .. .. .. .. .. ..

K1 j .. K ij .. .. K nj

.. K 1n .. .. .. .. .. .. .. .. .. K nn

D5

F5 D4 D6 F6 F2 F3 F1 F4

1

.. ..
j

D2 D3 D1

..
n

3

Resumen del método de rigidez

Significado físico de [K]
Columna j de [K]: Fuerzas y momentos que hay que aplicar sobre los gradosde libertad de la estructura, para imponer un desplazamiento unitario en la dirección j, y cero en todas las demás No se puede emplear Para toda la estructura
Ki1

F1 .. Fj .. Fn

K 11 .. .. .. Kn1

.. K 1 j .. .. .. K jj .. .. .. K nj
Ki3

.. K 1n .. .. .. .. .. .. .. K nn

1

0 .. 1 .. 0

j

n

K11

D1=1

K33

D3=1

4

Resumen del método de rigidez

Significadofísico de [K] para una viga plana
Se emplea a nivel de una barra sola. Para obtener su matriz de rigidez local.
dIY =D2 dIX =D1 qIZ =D3 dJY =D5 dJX =D4 qJZ =D6
K22 K32 D2=1 K11 D1=1 K52 K62 K41

F1 .. Fj .. F6

K11 .. .. .. K 61

.. K 1 j .. .. .. K jj .. .. .. K 6 j

.. K 16 .. .. .. .. .. .. .. K 66

1

0 .. 1 .. 0

K23 K33

D3=1

K53 K63

j

6

5

Resumen del métodode rigidez

Catálogo de elementos (1)
Barras 2D Barras 3D
XL PJY PJX PJZ

PIY

PIX
Y

PIZ

Z

X

YG XG ZG

6

Resumen del método de rigidez

Catálogo de elementos (2)
Muelles
q2

q1

Barras curvas 2D
dJY dIX qI dJX qJ

dIY
y

dJY dJX

dIY

dIX

+ otros en el futuro (MEF)
7 Resumen del método de rigidez

Dos cuestiones fundamentales


En cualquiermétodo de análisis estructural, se deben garantizar:


Equilibrio de cualquier trozo de la estructura Compatibilidad de deformaciones





Cómo se garantiza esto en el método de rigidez??

8

Resumen del método de rigidez

Compatibilidad de deformaciones
 



En el método de rigidez es automática: Las deformaciones de los nudos (grados de libertad) se comparten entrelas barras que llegan a dicho nudo. Las deformaciones en el interior de las barras se definen en función de los grados de libertad de los nudos.
DY DX qZ qZ1
A) B) C)

DY DX DY

qZ2

DX

YL

qIZ dIY dIX v u

qZ

qJZ dJX dJY

9

Resumen del método de rigidez

Grados de libertad

10

Resumen del método de rigidez

Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Cualquier trozo es siempre suma de nudos y barras, por lo tanto basta con cumplir:
Equilibrio de todas las barras
FI
ext A

e KG

e

Fe

e

1, b
A

Equilibrio de todos los nudos

-FI -FI
B

A FI

A

FJ

FIe
e

FIext

I

1, N

FI

B

B

FK
11

B

Resumen del método de rigidez

Equilibrio de cada barra de la estructura
Equilibrio estático de la barra: 3ecs. en el plano, 6 en el espacio Estas 3 o 6 ecuaciones se expresan en función de los grados de libertad y de las fuerzas en los extremos, mediante la ecuación de rigidez: En el sistema local de la barra
DJ FJ
e

J

Ke LII K
e LJI

Ke LIJ K
e LJJ

I J

PIe P
e J
FI
e

DI YG XG I ZG

En el sistema general de la estructura
e KGII e KGIJ I J

FIe F
e J

K
12

e GJI...