Primer impacto

Lectura complementaria Nº 2. Los elementos de Euclides. De todos los libros alguna vez escritos, de temas no religiosos, sin duda el más leído ha sido “Elementos” de Euclides. Escrito hacia el 300 AC, se ha mantenido como el libro de texto de geometría más exitoso de la historia. Incluso hoy en día algunos institutos secundarios lo siguen usando como referencia. Ciertamente, se le han hechomuchas correcciones pero, ¿qué libro de un autor individual ha tenido una circulación generalizada durante 2300 años? Claramente es el trabajo de un genio. Primero observemos que los Elementos es justamente un libro de texto. No fue el primer libro de texto sobre geometría, se sabe que hubo otros antes. Simplemente, los Elementos mostró ser tan superior a sus predecesores que todos ellos desaparecierony sus contenidos están hoy perdidos para nosotros. (Es malo. Hubiera sido bueno saber qué conocimientos había antes de Euclides). Euclides, sin embargo, nunca pretendió con sus Elementos hacer un compendio de toda la geometría que se conocía en su tiempo. Algunos teoremas que se conocían en la época de Euclides no aparecen en sus Elementos. Se supone que el mismo Euclides escribió un libro sobrecónicas (parábolas, elipses e hipérbolas) pero no las menciona en los Elementos. Euclides usó un total de diez axiomas divididos en cinco postulados y cinco nociones comunes. La idea era que los postulados eran peculiares de la geometría, mientras que las nociones comunes eran válidas para toda la matemática. Hoy en día no haríamos tal distinción. Los postulados, algunos de los cuales estánexpresados en forma modernizada, son éstos: 1) Una línea recta puede ser dibujada pasando por dos puntos cualesquiera, 2) Un segmento de recta puede ser construido en cualquier dirección a lo largo de una línea recta, 3) Un círculo puede ser dibujado siempre que estén dados el centro y el radio, 4) Todos los ángulos rectos son iguales entre sí, 5) Si dos líneas (l1 y l2 en la figura) son tales que unatercera línea (m) las intercepta de modo que la suma de los dos ángulos interiores (A y B) en un mismo semiplano de borde m es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas, si se prolongan suficientemente, se cortarán en el mismo semiplano de borde m en el que la suma de los ángulos interiores es menor que dos ángulos rectos. m A B l1

l2
B B

Las cinco nociones comunes son: 1) Doscosas iguales a una tercera son iguales entre sí, 2) Si cantidades iguales son sumadas a cantidades iguales las sumas son iguales, 3) Si cantidades iguales son restadas a cantidades iguales, las restas son iguales, 4) Las figuras que coinciden entre sí son iguales, 5) El todo es mayor que las partes. La construcción de un edificio tan magnífico cobre la base de una cantidad tan reducida de axiomases sin duda un logro del mayor orden. Es cierto que los axiomas no son suficientes, esto es, que Euclides usó mucho más de lo que creyó su intuición y los dibujos que realizó (un tema que discutiremos más adelante). Aun así, con los aditamentos necesarios, la estructura fundamental y el contenido de los Elementos han quedado incambiados. El primer postulado asegura, no sólo la existencia de líneasrectas, sino que podemos disponer de todas las líneas rectas que necesitemos. Además, parece estar implicada la unicidad, es decir que, dados dos puntos, hay una sola línea que pasa por ellos. Euclides aceptó esto tácitamente. El segundo postulado implica (aunque no lo afirma explícitamente) que dos líneas rectas distintas no pueden compartir un mismo segmento; esto es, que la línea recta queresulta de prolongar un segmento es única. Note, también, que esto parece implicar que el segmento puede ser prolongado tanto como queramos, sin límite de extensión. Otra vez Euclides asume esto en sus demostraciones. El tercero es también un axioma de existencia. Nos provee de círculos de todos los tamaños en cualquier ubicación. Adicionalmente nos dice algo acerca del plano: desde que no hay...