primer

Método de Variación on de Parámetros
El objetivo del método de variación de parámetros es encontrar una función y = y(t) que
cumpla la ecuación diferencial
y(n) + an−1(t)y(n−1) + · · · + a1(t)y0+ a0(t)y = f (t), (1)
donde f (t), a0(t), ..., an−1(t) son funciones continuas en un intervalo de IR.
En otras palabras, se trata de encontrar una solución particular de la ecuación diferencial (1),que es una ecuación diferencial lineal de orden n, no homogénea. Obsérvese que no se supone
que a0, . . . , an−1 sean constantes.
El método de variación de parámetros consiste en encontrar unafunción de la forma
y(t) = Y(t)F(t)
que cumple la ecuación diferencial no homogénea (1), donde F(t) es un vector columna de n
funciones por determinar. Obsérvese que (7) se obtiene tras “convertir” elvector constante C en
(5) en el campo vectorial F. De aquí el nombre de método de variación de parámetros. Este método
se basa en el siguiente teorema:
TEOREMA: Sea F = F(t) un vector columnaformado por n funciones que cumple
YF0 = … = Y(n−2)F0 = 0, Y(n−1)F0 = f , (8)
donde Y está definido en (6). Entonces la función YF cumple (1).
Ilustremos este teorema con un ejemplo (la demostracióndel teorema la haremos m´as adelante).
Precisamente resolveremos la ecuación propuesta por Euler: y00 + k2y = f (t) que corresponde
al estudio de un resorte mecánico sin resistencia con una fuerzaexterna, fijando el origen
para que la posición de equilibrio sea y = 0.

EJEMPLO: Resuélvase el siguiente problema de valor inicial:
y00 + k2y = f (t) y(0) = y0 y0(0) = v0,
donde k es una constantepositiva y f una función continua en un entorno de t = 0.
En primer lugar debemos resolver la homogénea (se puede hacer como ejercicio) y se obtiene
yh(t) = C1 cos(kt) + C2 sen(kt), C1, C2 2 IR.(9)
En este ejemplo y siguiendo la notaci´on previa, definimos por (6)
Y(t) = (cos(kt) sen(kt)). (10)
Obs´ervese que a lo largo del problema se tiene n = 2. Hemos de hallar el campo vectorial F,...