primera derivada
Páginas: 5 (1112 palabras)
Publicado: 12 de enero de 2014
LA PRIMERA DERIVADA Y LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN
DEFINICIÓN: Una función y=f(x) se dice que es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1 y x2 son dos valores cualesquiera en el intervalo dado con x2>x1, entonces f(x2)>f(x1).
Una función y=f(x) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo de su dominio ydecrece al incrementarse la x. Es decir, si x2>x1 son dos valores de x en el intervalo dado, entonces f(x2) < f(x1).
TEOREMA 1
(a) Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces f’(x) ≥ 0.
(b) Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable, entonces f’(x) ≤ 0.
yy
f(x2) -------------------------- f(x1) ------------------------------
f(x1) --------------- f(x2) ------------------------------
0 x1 x2 x0 x1 x2 x
(a) X2 > x1; f(x2) > f(x1) (b) x2 > x1; f(x2) < f(x1)
EJEMPLO:
Determine los valores de x en los cuales la función f(x) = x3 - 3x crece o decrece.
Solución: Tenemos que f’(x) = 3x2 – 3 = 3(x-1) (x+1). Con objeto de determinar el intervalo en que f(x) crece, hacemos f’(x) > 0, esto es,
3(x – 1) (x + 1) > 0El procedimiento consiste en examinar los signos de los factores (x – 1) y (x + 1). El factor (x – 1) es positivo si x>1 y negativo en el caso de que x-1 y negativo para x0 3(0)2 – 3 = -30
Creciente Decreciente Creciente
Vemos que f’(x) > 0 en (-∞, -1) y en (1, ∞), así que f es una función creciente de x encada uno de esos intervalos. En (-1, 1), f’(x) f(x) para toda x suficientemente cerca de c.
Así los puntos P y Q en las gráficas siguientes corresponden a máximos locales de las funciones correspondientes.
y y
PO
Y = f(x) y = f(x)
0 x1 c x2 x0 x1 c x2 x
(b) Una función f(x) se dice que tiene un mínimo local en x = c si f(c) < f(x) para toda x suficientemente cerca de c.
(c) El término extremo se utiliza para denotar un máximo local o bien a un mínimo local.
Una función puede tener más de un máximo local y más de un mínimo local.
yy
y = f(x)
AB
y = f(x)
0 x1 c x2 x 0 x1 c x2 x
(a) (b)
y...
DEFINICIÓN: Una función y=f(x) se dice que es una función creciente sobre un intervalo de valores de x si y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1 y x2 son dos valores cualesquiera en el intervalo dado con x2>x1, entonces f(x2)>f(x1).
Una función y=f(x) se dice que es una función decreciente sobre un intervalo de su dominio ydecrece al incrementarse la x. Es decir, si x2>x1 son dos valores de x en el intervalo dado, entonces f(x2) < f(x1).
TEOREMA 1
(a) Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces f’(x) ≥ 0.
(b) Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable, entonces f’(x) ≤ 0.
yy
f(x2) -------------------------- f(x1) ------------------------------
f(x1) --------------- f(x2) ------------------------------
0 x1 x2 x0 x1 x2 x
(a) X2 > x1; f(x2) > f(x1) (b) x2 > x1; f(x2) < f(x1)
EJEMPLO:
Determine los valores de x en los cuales la función f(x) = x3 - 3x crece o decrece.
Solución: Tenemos que f’(x) = 3x2 – 3 = 3(x-1) (x+1). Con objeto de determinar el intervalo en que f(x) crece, hacemos f’(x) > 0, esto es,
3(x – 1) (x + 1) > 0El procedimiento consiste en examinar los signos de los factores (x – 1) y (x + 1). El factor (x – 1) es positivo si x>1 y negativo en el caso de que x-1 y negativo para x0 3(0)2 – 3 = -30
Creciente Decreciente Creciente
Vemos que f’(x) > 0 en (-∞, -1) y en (1, ∞), así que f es una función creciente de x encada uno de esos intervalos. En (-1, 1), f’(x) f(x) para toda x suficientemente cerca de c.
Así los puntos P y Q en las gráficas siguientes corresponden a máximos locales de las funciones correspondientes.
y y
PO
Y = f(x) y = f(x)
0 x1 c x2 x0 x1 c x2 x
(b) Una función f(x) se dice que tiene un mínimo local en x = c si f(c) < f(x) para toda x suficientemente cerca de c.
(c) El término extremo se utiliza para denotar un máximo local o bien a un mínimo local.
Una función puede tener más de un máximo local y más de un mínimo local.
yy
y = f(x)
AB
y = f(x)
0 x1 c x2 x 0 x1 c x2 x
(a) (b)
y...
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