Primera Tarea De Modelos Constitutivos Para Materiales Geotecnicos 2

Frank P.    Modelo Constitutivos para Materiais Geotécnicos II – CIV2547  Questão 1:  Conhecidos as seguintes matrizes e vetores  

1112023  Lista de Exercícios 1 

3    A  1    2   

3   B   4    2  

1 2 4  C   2  1 3     0 1 1   

 2 3  1 D   3 1 2      1 0 1  

Pede‐se determinar:  i) ii) iii) iv) v) Solução:   i)

ei  cij a j 

f j  c ji bi  

g rs  cri d si  
hik   ij ckj  

m   rs d rs  

ei  cij a j  

Pela convenção de soma:  com  i, j  1,2,3  

i  1  c11a1  c12 a2  c13a3  e1   i  2  c21a1  c22 a2  c23a3  e2   i  3  c31a1  c32 a2  c33 a3  e3  
Substituindo 

i  1  1* 3  2 *1  4 * 2  13   i  2  2 * 3  1*1  3 * 2  11   i  3  0 * 3  1 *1  1 * 2  3  
ii)

f j c ji bi  

1 2 0  C ji  2  1 1     4 3 1  
Pela convenção de soma:  com  i, j  1,2,3  

i  1  c11b1  c12b2  c13b3  f1   i  2  c21b1  c22b2  c23b3  f 2   i  3  c31b1  c32b2  c33b3  f 3  
  Substituindo  Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro   1  Departamento de Engenharia Civil 

Frank P.   Modelo Constitutivos para Materiais Geotécnicos II – CIV2547 

1112023  Lista de Exercícios 1 

i  1  1 * 3  2 * 4  0 * 2  5   i  2  2 * 3  1* 4  1* 2  12   i  3  4 * 3  3 * 4  1* 2  2  
iii)

g rs  cri d si   g ri  cri d ii

Para que o produto aconteça tem que ser  s  i  então a igualdade acima fica assim:   

1 2 4   2  8  g ri  2  1 3 1  6         0 1 1  1   2      
iv)

hik   ij ckj  Para que o produto aconteça tem que ser  i  j  então a igualdade acima fica assim: 

hik   ii cki hik  1  cki

   

1 2 0 hik  cki  2  1 1     4 3 1  
v)

m   rs d rs  
m   rr d rr  

Para que o produto aconteça tem que ser  r  s  então a igualdade acima fica assim: 

   

2    m  1 1 11    1    m  2 11  4  
 Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro   2 

Departamento de Engenharia Civil 

Frank P.    Modelo Constitutivos para Materiais Geotécnicos II – CIV2547  Questão 2:  Mostre que se  uij  u ji  então  uij wi w j  0 .  Solução:  De:  uij  u ji  

1112023  Lista de Exercícios 1 

uij  u ji  0   uij  u ji  0  
 2u11 u  u  21 12 u31  u13 
  Então: 

u12  u 21 2u 22 u32  u 23

u13 u 31  u 23  u 32   0    2u33  

2u11  2u 22  2u33  0   u11  u22  u33  0  
  A matriz  uij  fica assim: 

 0 u12 uij  u 21 0  u31 u32 
  Também:  wi  ai ei  

u13  u 23  .......(1)   0 

wj  bje j   wi w j  ai bi ei e j   wi w j  ai bi ij  

 ij  ei e j 

1 se i  j   0 se i  j
0 a 2 b2 0 0  0  .......(2)   a3b3  

a1b1 wi w j   0   0

  Do produto (1) e (2) se tem:   

 0 u12 uij wi w j  u 21 0  u31 u 32 

u13  a1b1 u 23   0  0  0 

0 a 2 b2 0

0  0  =0   a3b3  

 

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro   3 

Departamento de Engenharia Civil 

Frank P.    Modelo Constitutivos para Materiais Geotécnicos II – CIV2547  Questão 3:  Simplifique as expressões seguintes  i)ii) iii) iv) v) Solução    i) ii)

1112023  Lista de Exercícios 1 

 ij jk  ki  ...  
 mn pmn  ...  
( ij  cij )( ij  cik )   jk   mncmj cnk  ...  

 ij yi y j  ...  

 ij  kl nm a jk bln  ...  

 ij  jk  ki   ij  ji   ii   11   22   33  3  
 

 mn pmn  ...    nn pnn  pnn  
 

Para que o produto aconteça tem se  m  n  então: 

iii)( ij  cij )( ik  cik )   jk   mncmj cnk  ...  
 

 ij ik   ij cik   ik cij  cij cik   jk   mncmj cnk  ...
Para que o produto aconteça tem se  i  j  então: 

 ii ik   ii cik   ik cii  cii cik   ik   mncmicnk  ...  ik   ii cik   ik cii  cii cik   ik   mncmi cnk  ...  ii cik   ik cii  cii cik   mncmicnk  ...
 

 

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