PRIMERAREALES

UNIDAD I
Nociones preliminares
1.1 Números reales
1.1.1 Conjunto de números reales y la recta númerica
1.1.2 Intervalos y su clasificación
1.1.3 Desigualdades y su solución
1.2 Funciones
1.2.1 Dominio y rango de una función
1.2.2 Gráficas de funciones
1.2.3 Operaciones con funciones
1.2.4 Composición de funciones

1.3 Límite de funciones
1.3.1 Concepto de límite de una función
1.3.2 Límiteslaterales
1.3.3 Teoremas de límites
1.3.4 Límites infinitos
1.4 Continuidad de funciones
1.4.1 Continuidad de una función, análisis gráfico
1.4.2 Teoremas de continuidad de funciones
1.4.3 Continuidad de una función en un punto y en
un intervalo

UNIDAD II
Derivada
2.1 Derivada de una función
2.1.1 La derivada como razón de cambio
2.1.2 Interpretación geométrica y física de la derivada
2.2 Cálculode derivadas
2.2.1 Regla general de derivación
2.2.2 Estudio y aplicación de las fórmulas de derivación

2.3 Aplicación de la derivada
2.3.1 Concavidad
2.3.2 Métodos para la obtención de máximos y mínimos
2.3.3 Problemas de aplicación de máximos y mínimos
2.4 Teoremas de derivación
2.4.1 Regla de la cadena
2.4.2 Teorema de Rolle y del valor medio

UNIDAD III
Integral
3.1 La integral indefinida3.1.1 La integral como operación inversa de la
derivación
3.1.2 Fórmulas básicas de integración
3.2 La integral definida
3.2.1 Sumas de Riemann
3.2.2 Interpretación geométrica de la integral
(área bajo la curva)
3.2.3 Teorema fundamental del cálculo

3.3 Métodos de integración
3.3.1 Por sustitución
3.3.2 Por sustitución trigonométrica
3.3.3 Por racionalización
3.3.4 Por partes

PreliminaresSistema

de números reales

Desigualdades

El sistema de los números reales
El cálculo se basa en el sistema de los números
reales y sus propiedades.

Números reales

Números naturales: 1, 2, 3, 4, ................... (N)
Números enteros: ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... (Z)
Números racionales: 3/4, -5/7, m/n, ...........
(Q)
Números irracionales: 3, 7, a, , e, .........
Números complejos: a + bi;i= -1

N Z  Q  R

Propiedades de campo
 Ley

 Ley

conmutativa:

x+y=y+x;

xy=yx

2+3 = 3+2;
5 = 5 ;

(2)(3)=(3)(2)
6 = 6

asociativa: x+(y+z)=(x+y)+z;

(xy)z=x(yz)

2 + (3 + 5) = (2+3)+5;
2+8=5+5
10 = 10

 Ley

distributiva:

(2*3)5=2(3*5)
6 * 5 =2 *15
30 = 30

x(y+z) = xy + xz
2(3 + 5) = 2*3 + 2*5
2 * 8 = 6 + 10
16 = 16

 Elementos

neutros:

x+0= x
2+0=2

 Inversos:

x+(-x)=0
2 +(-2)=0

x(1) = x
2*1=2

x(x-1)= 1
2 (2-1)= 2(1/2)= 1

Propiedades del orden
 Tricotomía:

x 2<5

x=y o

o

2=5

x>y

O

2>5

 Transitividad:

9

x
y y x < z

2<5

y

5<9

=>

2<

 Aditiva:

x 2<5  2+3 < 5+3
5 < 8
 Multiplicativa:
z > 0 => x < y  xz < yz
8 > 0 => 2 < 5  2*8 < 5*8
16 < 40
z < 0 => x < y  xz > yz
-8 < 0 => 2 < 5  2(-8) > 5(-8)
-16 > -40

Simplifiquetodo lo que sea posible

5)

4-3(8-12)-6 =
2(3-2(4-8)) =
-4[3(-6+13)-2(5-9)]=
5[-1(7+12-16)+4]+2 =
5/ – (1/ +2/ ) =
6
4
3

6)

¾-(7/12 – 2/9) =

7)

1

1)
2)
3)
4)

/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =

8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

-1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =
(5/7+2/9)/(1+1/2) =
[1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =
1 - 2/2+3/4 =
2 + 3/1+5/2 =
(√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =
(√ 2 + √ 3)2 =
3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =

Ejerciciosresueltos
1) 4-3(8-12)-6 =
1° se resuelve el paréntesis
4-3(-4)-6 =
El resultado (-4) se multiplica por
-3
4+12-6 =
Se suman todos los positivos y los
negativos
16-6 = 10
3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelve color verde
-4[3(7)-2(-4)]=
Se multiplica el paréntesis con
su literal
-4[21+8]=
Se resuelve color lila
-4[29]= -116
Se multiplica

5) 5/6 – (1/4+2/3) =

Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd

5

/6– (1)(3)+(2)(4)/(4)(3) =

5

/6– 3+8/12 = 5/6–11/12 Igualar denominadores (mcm)

5

/6 – 11/12 = (5/6)(2/2) – 11/12

10

/12 – 11/12 = – 1/12

Simplificar
2

/2=1,

x*1=x

Mismo denominador (12),
numeradores se suman.

7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =
1

/3[1/2(1(3)-1(4)/4(3))+1/6] =

1

/3[1/2(3-4/12)+1/6] =

9) (5/7+2/9)/(1+1/2) =
(5(9)+ 2(7)/7(9))/(2/2+1/2) =
(45+14/63)/(3/2) =
(59/63)/(3/2) =...

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