Primitivas

C´lculo de primitivas:
a
f (x) dx = F (x) + C , siendo F (x) una antiderivada de f (x), es decir, siendo F (x) tal que
F (x) = f (x)
La constante C se denomina constante de integraci´n; es una constante arbitraria porque se le puede
o
asignar cualquier valor real.
La integral indefinida de una funci´n f es realmente una familia de funciones. Sin embargo, la integral
o
definida es unn´mero.
u
Si f es continua en [a, b] y F es una antiderivada de f en [a, b], se verifica que:
b

b

f (x) dx = F (b) − F (a) = F (x)
a

a

Propiedades de la integral indefinida.
La operaci´n consistente en obtener la primitiva de una funci´n dada se denomina integraci´n, que
o
o
o
es la inversa de la derivaci´n. Por esta raz´n, utilizando las propiedades de la derivaci´n es posible
o
oo
determinar algunas propiedades de la integraci´n.
o
Las siguientes propiedades de linealidad sirven para descomponer integrales complicadas en otras m´s
a
sencillas:
• La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de ellas.
(f (x) + g (x)) dx =

f (x) dx +

g (x) dx

• La integral del producto de una constante por una funci´n es igual alproducto de la constante
o
por la integral de la funci´n.
o
(α · f (x)) dx = α ·

f (x) dx

Integrales inmediatas: En la tabla siguiente se resumen las reglas de integraci´n de las funciones
o
m´s comunes.
a
Es frecuente que la funci´n a integrar parezca a primera vista una funci´n no contemplada en la
o
o
tabla de integrales inmediatas. No obstante, a veces bastan algunas sencillasoperaciones aritm´ticas en
e
dicho integrando (reducir potencias, aplicar f´rmulas trigonom´tricas, racionalizar fracciones, etc´tera) para
o
e
e
obtener una integral inmediata.
Un truco muy socorrido para convertir una integral en inmediata consiste en “buscar el logaritmo”. Si
se consigue transformar el integrando de manera que se componga de un numerador que sea la derivada deldenominador, la integral ser´ inmediata: el logaritmo neperiano de la funci´n pertinente.
a
o
xr dx =

xr+1
+C
r+1

(r ∈ Q, r = −1)

1
dx = arctan x + C
1 + x2

ex dx = ex + C
√

1
dx = ln |x| + C
x

1
dx = arcsin x + C
1 − x2

sin x dx = − cos x + C
sec2 x dx = tan x + C

cos x dx = sin x + C
1

M´todos de integraci´n: Las operaciones de integraci´n de funciones puedenllegar a ser muy come
o
o
plicadas. Para facilitarlas se han ideado diversos procedimientos generales, de los cuales los m´s extendidos
a
son los llamados m´todos de sustituci´n o cambio de variable y de integraci´n por partes.
e
o
o
Integraci´n por partes.
o
u dv = u · b −

v du

Se trata de expresar la funci´n que queremos integrar como producto de otras dos, de manera que:
o
1.Una de ellas sea la derivada de otra ya conocida, es decir, podamos escribir nuestro integrando de
la forma u dv .
2. La integral de v du sea m´s f´cil que la de u dv .
aa
Ejemplo.– Calcular:
x cos x dx
Utilizamos el m´todo de integraci´n por partes para calcular esta primitiva:
e
o
x cos xdx

=
=

u=x
cos x dx = dv

=⇒
=⇒

du = dx
v = sin x

= x sin x −

sin x dx =

xsin x + cos x + C

En general, podemos decir que si se trata de integrar una funci´n del tipo:
o
f (x)g (x) dx
donde f (x) es un polinomio y g (x) es una de las funciones siguientes: eax , sin ax, cos ax, arcsin ax,
arctan ax, ln ax, . . . ; o bien f (x) es una funci´n seno o coseno y g (x) es una funci´n exponencial;
o
o
puede resultar conveniente utilizar el m´todo de integraci´n porpartes.
e
o
Sustituci´n. Cambio de variable
o
Esta t´cnica consiste en introducir una nueva variable t para sustituir a una expresi´n apropiada del
e
o
integrando, de manera que la expresi´n resultante sea m´s f´cil de integrar.
o
aa
Si

f (u(x))u (x)dx = F (u(x)) + C

entonces

f (t) dt = F (t) + C

¿C´mo saber cu´l es el cambio de variable adecuado? Desgraciadamente no hay una...