Principio_de_inducción

Axiomas de Peano.
1. El 0 es un número natural.
2. Todo número natural n tiene un sucesor n’ = n+1.
3. El 0 no es un sucesor de un número natural.
4. Dos números diferentes no pueden tener elmismo sucesor.
5. Principio de Inducción Matemática:
Si un conjunto S cumple las siguientes dos condiciones:
i. 0 está es S
ii. Siempre que n está en S, n’ también está en S
Entonces Scontiene a todos los números naturales.

El quinto axioma de Peano es muy utilizado en al demostración formal de propiedades que son válidas para todo número natural.
Sea A una afirmación o proposiciónabierta, que puede ser falsa o verdadera, dependiendo de que se aplique a un elemento u otro de un conjunto.
A(n): Una afirmación aplicada a n que es falsa o verdadera, dependiendo de un númeronatural . Puede enunciarse el principio de inducción de la siguiente manera:
Principio de inducción matemática:
Si las siguientes dos condiciones se cumplen:
i. es verdadera.
ii.
Entonces esverdadera para todo
En ocasiones interesa demostrar que una afirmación A es verdadera para todo número natural, a partir de un número n0 mayor que cero. En este caso, el enunciado del principio deinducción quedaría de la siguiente forma:
Si las siguientes dos condiciones son válidas:
i. es verdadera.
ii.
Entonces es verdadera para todo


Ejemplo 1: Probar que , es divisible por 8Prueba: Utilizando el principio de inducción:
i. Para n=0: , que es divisible por 8.
ii. Supongamos que la afirmación es válida para n (hipótesis de inducción) , para algún k entero.
Probemosque, en tal caso, también sería válida para n+1:


que claramente es divisible por 8.
Por lo tanto, , es divisible por 8,

Ejemplo 2: Probar que , se cumple la siguiente igualdad: .Prueba: Utilizando el principio de inducción:
i. Para n=1, la suma del lado izquierdo es , por otro lado, la fracción del lado derecho es = 1, por lo que ambos miembros son iguales.
ii. Supongamos...