Principio de palomar

Principio del palomar

El principio del palomar, también llamado principio de Dirichlet, establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así que el hecho de añadir otro objeto fuerza avolver a utilizar alguno de los huecos. De otra manera: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes.
El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con el nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). No debe confundirse con otro principio sobre funciones armónicas, también con el nombre de este autor.


Enunciado

Principio dedistribución, del palomar o del cajón de la paloma de Dirichlet. Sean m, n y p tres números naturales. Si se desean colocar np + m palomas en n cajas, alguna caja debe contener al menos p + 1 objetos.
Demostración: Si cada caja contiene como mucho p objetos, el número total de objetos que podemos colocar es np  n. Equivalentemente, si se desean colocar m objetos en n cajas, con m > n, al menos unacaja debe contener al menos 2 objetos.


Aplicaciones

Aunque el principio del palomar puede parecer una observación trivial, se puede utilizar para demostrar resultados inesperados. Por ejemplo, hay por lo menos 2 personas en Madrid con el mismo número de pelos en la cabeza. Demostración: la cabeza de una persona tiene en torno a 150.000 cabellos y tener un millón de pelos requeriría de unacabeza gigante (nadie tiene un millón de pelos en al cabeza). Asignamos un palomar por cada número de 0 a 1.000.000 y asignamos una paloma a cada persona que irá al palomar correspondiente al número de pelos que tiene en la cabeza. Como en Madrid hay más de un millón de personas, habrá al menos dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza. De hecho se puede asegurar con seguridad que encualquier ciudad de más de un millón de personas hay más de 5 personas con el mismo número de pelos en la cabeza (por el principio de Dirichlet generalizado).



Enunciado general

Una versión generalizada de este principio dice que, si n objetos discretos deben guardarse en m cajas, al menos una caja debe contener no menos de

 objetos, donde  denota la función techo.

Además existiráotra caja que contendrá no más de

 objetos, donde  denota la función suelo.

Como ejemplo de aplicación en una ciudad de más de un millón de habitantes habrá como mínimo 2733 personas que hayan nacido el mismo día del año, ya que:



Donde se ha tenido en cuenta que existen 366 posibilidades para la fecha de aniversario de una persona contando la existencia de años bisiestos.Formulación matemática

Técnicamente el principio del palomar, se corresponde con la aritmética modular, por lo que se puede dirigir a dicho artículo para profundizar en aspectos técnicos.

Si  y  son conjuntos finitos con  >  entonces no existe ninguna función inyectiva de A en B.





1 Demostración por inducción

Paso base: Supongamos , es decir, . Entonces no existe ninguna función  , enparticular no existe ninguna función inyectiva.

Hipótesis inductiva:  no es inyectiva para todo conjunto finito  y para todo conjunto finito , que cumplan , y , con .

Tesis inductiva: Para , no existe una función  inyectiva.

Demostración del paso inductivo: Como A no es vacío, elijamos un . Pueden ocurrir dos cosas. O bien existe otro elemento distinto a  en A, llamémosle  que cumpla . Obien no existe tal elemento. Si el caso es que existe, la función f no es inyectiva y termina la demostración. Tomemos el caso que no existe, entonces f(a) tiene solo una preimagen que es a. Consideramos la función  que coincide con f en todos los elementos de A − {a}. Ahora aplicamos la hipótesis inductiva pues  tiene n elementos y , por lo tanto g no es inyectiva. Como g no es inyectiva, f no...