Principios del conteo
Páginas: 3 (672 palabras)
Publicado: 17 de junio de 2014
Principios de conteo
Muchos problemas propuestos en olimpiadas matemáticas se pueden resolver contando las formas posibles de realizar una determinada acción, o, utilizando el camino inverso,interpretar una fórmula que nos dé el enunciado como el cardinal de un conjunto. Por ejemplo, si los dos miembros de una identidad que nos piden verificar son distintas formas de contar una mismacosa, es evidente que la identidad se cumple.
Hay muchas herramientas para contar. La combinatoria nos ofrece numerosas fórmulas para contar las distintas posibilidades para ordenar objetos, y lamayoría están recogidas en casi todos los libros de cálculo ó de matemática discreta ([4], [5]).
También es útil conocer los números combinatorios, y algunas de las relaciones que satisfacen.Enumeraremos algunas de ellas, por ejemplo:
Que se pueden probar fácilmente por inducción. Demostraremos la última fórmula ya que se puede dar una prueba bastante curiosa:
Sabemos que por el binomio deNewton: . Sustituyendo ahora por obtenemos precisamente .
Otra herramienta muy conocida para contar es el Principio de las Casillas o Principio de Dirichlet, también conocido como el Principiodel Palomar y The Box Principle. El enunciado de este principio es muy sencillo, una primera versión podría ser: “Tenemos cinco flores y cuatro jarrones. Si colocamos las flores en cuatro jarrones,entonces en al menos un jarrón habrá al menos dos flores”. Como se puede ver por el enunciado, es un principio bastante intuitivo.
Una versión más general sería: “Si tenemos objetos, y cajas en lasque distribuirlos, al menos en una de ellas habrá objetos”, donde denota el menor número entero .
Un ejemplo de utilización de este principio en un problema nada trivial sería:
Se considerancuatro números reales y distintos del intervalo (0,1).
Demostrar que siempre se pueden elegir dos de ellos, a y b, tales que:
Todos los números del intervalo (0,1) son de la forma , con ....
Muchos problemas propuestos en olimpiadas matemáticas se pueden resolver contando las formas posibles de realizar una determinada acción, o, utilizando el camino inverso,interpretar una fórmula que nos dé el enunciado como el cardinal de un conjunto. Por ejemplo, si los dos miembros de una identidad que nos piden verificar son distintas formas de contar una mismacosa, es evidente que la identidad se cumple.
Hay muchas herramientas para contar. La combinatoria nos ofrece numerosas fórmulas para contar las distintas posibilidades para ordenar objetos, y lamayoría están recogidas en casi todos los libros de cálculo ó de matemática discreta ([4], [5]).
También es útil conocer los números combinatorios, y algunas de las relaciones que satisfacen.Enumeraremos algunas de ellas, por ejemplo:
Que se pueden probar fácilmente por inducción. Demostraremos la última fórmula ya que se puede dar una prueba bastante curiosa:
Sabemos que por el binomio deNewton: . Sustituyendo ahora por obtenemos precisamente .
Otra herramienta muy conocida para contar es el Principio de las Casillas o Principio de Dirichlet, también conocido como el Principiodel Palomar y The Box Principle. El enunciado de este principio es muy sencillo, una primera versión podría ser: “Tenemos cinco flores y cuatro jarrones. Si colocamos las flores en cuatro jarrones,entonces en al menos un jarrón habrá al menos dos flores”. Como se puede ver por el enunciado, es un principio bastante intuitivo.
Una versión más general sería: “Si tenemos objetos, y cajas en lasque distribuirlos, al menos en una de ellas habrá objetos”, donde denota el menor número entero .
Un ejemplo de utilización de este principio en un problema nada trivial sería:
Se considerancuatro números reales y distintos del intervalo (0,1).
Demostrar que siempre se pueden elegir dos de ellos, a y b, tales que:
Todos los números del intervalo (0,1) son de la forma , con ....
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