prinicipios de Deming

M

M

2013-1

A
1
1
1

B
2
2
10

C
3
6
5

e

M´quina I
a
M´quina II
a
M´quina III
a

at
e

1

1

Una empresa produce tres bienes, A, B y C, los que procesa en tres m´quinas. El tiempo (en horas) requerido para
a
procesar cada unidad est´ dado en la tabla. La empresa disa
pone de la m´quina I por 110 horas, de la m´quina II por
a
a
170 horas y de lam´quina III por 190 horas.
a

1

UP

Sistemas de Ecuaciones Lineales

UP

1.

M

at

1. ¿Cuantas unidades de cada producto deber´ producirse con el objetivo de emplear todo
ıan
el tiempo disponible de las tres m´quinas?
a

M

2. Si los tres productos no requieren ser procesados por la m´quina III. ¿ Cuantas unidades
a
de cada producto deber´ producirse con el objetivo deemplear todo el tiempo disponible
ıan
de las dos primeras m´quinas?
a

UP

x + 2y + 6z = 170 y x + 10y + 5z = 190.

e

at

M

at
e

at
e

1

1

Para encontrar el n´mero de unidades que se producen de cada producto, de tal manera que
u
se use todo el tiempo disponible de las tres m´quinas, debemos resolver las ecuaciones sia
mult´neamente y as´ encontrar los valores de x, y yz. En el caso que los bienes no necesitan ser
a
ı
procesados por la m´quina III, solo debemos encontrar los valores de x, y y z que satisfagan a
a
las dos primeras ecuaciones.

1

UP

Suponga que la empresa produce x unidades del bien A, y unidades del bien B y z unidades
del bien C. Entonces a la m´quina I le toma x horas procesar el bien A, 2y horas procesar
a
el bien B, y 3z horasprocesar el bien C. Dado que la cantidad de horas que se dispone de la
m´quina I es de 110 horas, es necesario que x + 2y + 3z = 110. An´logamente, para las otras
a
a
dos m´quinas tenemos
a

M

Definici´n 1.1. Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´gnitas es un conjunto
o
o
de ecuaciones que se representa por
a11 x1
a21 x1
.
.
.

+ a12 x2
+ a22 x2
.
.
.

+ . . . +a1n xn = b1
+ . . . + a2n xn = b2
.
.
..
.
.
.
.
.
+ . . . + amn xn = bm ;

(1)

1

UP

donde las constantes aij , bi ∈ R son llamadas coeficientes del sistema.
El conjunto soluci´n del sistema definido por (??) es el conjunto de los valores
o
x1 , x2 , . . . , xn que satisfacen las m ecuaciones al simult´neamente el cual se puede represena
tar como un conjunto de puntos de laforma (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .

M

e
at

1

M

at
e

1

c 2013 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducci´n parcial o total.
o

1

UP

am1 x1 + am2 x2

at
e

M

at
e

1
at
e

1

at
e
Matem´ticas I
a

at
e

M

M

Clase 15: Sistemas de Ecuaciones y Matrices

at
e

x + 2y + 3z = 110
x + 2y + 6z = 170
x + 10y + 5z = 190

MM

M

UP

Ejemplos 1.3. Algunos ejemplos sencillos de sistemas de ecuaciones lineales y conjuntos soluci´n son los siguientes.
o

e

M

at

at
e

x−y = 1
puede reducirse a una sola ecuaci´n. Esto significa que la unica cono
´
−x + y = −1
dici´n es x − y = 1 o x = 1 + y. Entonces si y = k tenemos que x = 1 + k y por lo tanto
o
´
el conjunto soluci´n es {(1 + k, k) : k ∈R}.
o

M

at
e

1

no tiene soluci´n. Por lo tanto su conjunto soluci´n es ∅.
o
o

1

x−y = 1
−x + y = 2

1

UP

x+y = 3
tiene como unica soluci´n x = 2 e y = 1 la cual denotamos como el par
´
o
x−y = 1
ordenado (2, 1) y el conjunto soluci´n como {(2, 1)}.
o

Ejercicio 1.4. Grafique cada una de las rectas anteriores y el correspondiente conjunto soluci´n.
o
¿C´mo serelaciona esto con un teorema dado anteriormente?
o

2.

Matrices

e

M

M

at

at
e

1

1

Observaci´n 2.2. Una matriz puede entonces representarse como un arreglo rectangular de
o
n´meros reales en filas o columnas. Usaremos las siguientes notaciones para una matriz
u


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A = Am×n = (ai j )m×n = (ai j ) =  .
.
. ...