Prloblemari Metodos Numericos

Índice.

1. ERRORES
Programa del método iterativo Gauss-Seidel
Programa del método iterativo Jacobi
Comparación de Guss-Seidel vs jocobi
Serie de Fibonacci
2. SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRÁICAS LINEALES
Cuerpo en caída libre
Método de Ritz Rayleigh
3. VALORES CARACTERÍSTICOS

4. SIMILARIDAD, ORTOGONALIDAD Y FACTORIZACIÓN QR
Ortogonalidad por el método Gram Schmidt
5. EL MÉTODO QR6. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Distribución de la temperatura en una barra
Solución de la ecuación diferencial de calor en una placa sin pérdidas de energía.

7. Series de Fourier
Serie trigonometrica de Fourier

Programa del método iterativo Gauss-Seidel

El programa resuelve sistemas de ecuaciones lineales de primer grado de n ecuaciones y n variables.
Se tiene un sistema deecuaciones, de la forma:

Es decir cuatro ecuaciones cuatro incógnitas. Para hacer uso del programa tenemos que expresar el sistema en forma de matricial:
10 -1 2 0-1 11-1 32 -1 10 -10 3 -1 8x1x2x3x4=625-1115
El programa pide las matrices matrizdatos, resultados y Di lo cual es igual a ingresar:

Matrizdatos=10 -1 2 0-1 11-1 32 -1 10 -10 3 -18
Resultados=625-1115
Di=0000
Donde Di son los valores iniciales propuestos la respuesta la proporciona la matriz x de la forma:
x=12-11 donde x= x1x2x3x4=12-11 los cuales son los valores de las incógnitas.
La gráfica del error máximo tiene la forma:

Como se observa en la gráfica el error máximo aumenta en las primeras iteraciones para luego disminuir rápidamente, después de séptimaoperación tiende a disminuir lentamente.
El programa pide un valor de error aceptable en este caso fue de erroraceptable=.001

Programa del método iterativo Jacobi

El programa resuelve sistemas de ecuaciones lineales de primer grado de n ecuaciones y n variables.
Recordando el sistema de ecuaciones del caso de gauss-Seidel:

Al igual que el método anterior tenemos que expresar lasecuaciones de forma matricial:
10 -1 2 0-1 11-1 32 -1 10 -10 3 -1 8x1x2x3x4=625-1115
El programa pide las matrices A, b y Vi lo cual es igual a ingresar:
A=10 -1 2 0-1 11-1 32 -1 10 -10 3 -1 8
b=625-1115
Vi=0000
Donde Vi son los valores iniciales propuestos la respuesta la proporciona la matriz T1 de la forma:
T1=12-11 donde T1= x1x2x3x4=12-11los cuales son los valores de las incógnitas.
La gráfica del error máximo tiene la forma:

La grafica presenta la disminución del error según el número de iteraciones.
El programa pide un valor de error aceptable (se usara el mismo valor que en Gauss-Saidel) Erroraceptable=.001
Comparación de Guss-Seidel vs jocobi.

Las gráficas de error para este caso en particular son exactamente iguales,lo cual quiere decir que sería indistinto cuál de los dos métodos se utilice convergen con la misma rapidez.

Cuerpo en caída libre.
Encuentre la solución a la ecuación diferencia de caída libre para el desplazamiento.
De la segunda ley de newton obtenemos:
d2hdt2=g Ec. 1
dvdt=g Ec. 2
La ecuación 2 se puede escribir como:

vi+1-vi∆t=g Ec. 3

Para encontrar htenemos:
vi=hi+1-hi∆t
vi+1=hi+2-hi+1∆t
hi+2=vi+1∆t+hi+1
Sustituyendo lo anterior en la ecuación 3:
(hi+2-hi+1∆t)-(hi+1-hi∆t)∆t=g
hi+2-2hi+1+hi∆t2=g ec. 4
Sustituyendo el valor de hi+2 en la ecuación 4
(vi+1∆t+hi+1)-2hi+1+hi∆t2=g

hi+1=-g∆t2+hi+vi+1∆t
Con lo cual encontramos la solución de la ecuación diferencial en forma discreta. Graficando la ecuación anterior con respecto altiempo, donde 0<t<10, obtenemos la siguiente gráfica.

Fig. 1 Solución discreta.
Ahora si graficamos la solución analítica que es:
h=h=g∆t22+v0t+ho
Se obtiene:

Fig. 1 Solución analítica.

Como se puede observar las dos graficas son prácticamente idénticas. Lo cual nos indica que la solución discreta es correcta.

Distribución de la temperatura en una barra.
Se tiene una barra...