Prob Cal Vec U1

PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
UNIDAD I
Álgebra de vectores.
Resuelva los siguientes problemas
1) Hallar el ángulo entre los vectores u = 2,−3,1 y v = 1,−2,1
2) Demuestre que uxv es ortogonal a cada vector u = 2,−3,1 y v = 1,−2,1 .
3) Determine si lo siguientes vectores son paralelos, perpendiculares o ninguna
de las dos cosas.
a) u = − 5,3,7 , v = 6,−8,2
b) u = 6,−1,5 , v = 4,9,−3
4) Unafuerza constante con representación vectorial F = 10i + 18 j − 6k , mueve
un objeto a lo largo de una recta del punto (2, 3, 0) al punto
(4, 9, 15). Encuentre el trabajo realizado si la distancia se mide en metros y
la magnitud de la fuerza en Newtons.
5) Una mujer ejerce una fuerza horizontal de 25 lb sobre una caja, cuando
la empuja hacia arriba por una rampa que mide 10 pies de largo y el
ángulo deinclinación es de 20˚ sobre la horizontal. Encuentre el trabajo
realizado sobre la caja.
5) Encuentre un vector ortogonal al plano que pasa por los tres puntos
Dados:
a) P( 1, 0, -1), Q( 2, 4, 5), R( 3, 1, 7)
b) P( 2, 0, -3), Q( 3, 1, 0), R( 5, 2, 2)
6) Encuentre el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes PQ, PR, RS.
P(1,1,1), Q(2,0,3), R(4,1,7), S(3,-1,-2).
7) Una llave de 30 cm delargo se encuentra a lo largo del semieje positivo y , y
sujeta un tornillo en el origen. Se aplica una fuerza en la dirección 0,3,−4 en
el extremo de la llave. Encuentre la magnitud de la fuerza necesaria para
proporcionar 100 joules del par de torsión.
8) Dos fuerzas representadas por los vectores F1 y F2 actúan sobre una
partícula ocasionando que se desplace a lo largo de una recta desde el punto(2, 5) hasta el punto (7, 3). Si F1 = 3i − j , y F2 = −4i + 5 j , y si las intensidades
de las fuerzas se miden en libras y la distancia en pies, calcule el trabajo
realizado por las dos fuerzas al actuar juntas.
9) Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2, -1, -5) y (8, 8, 7) es
paralela a la recta que pasa por los puntos (4, 2, -6) y ( 8, 8, 2).
10) Hallar la ecuación del plano que pasapor el punto (-2, 8, 10) y es
perpendicular a la recta x = 1 + t , y = 2t , z = 4 − 3t

11) Sobre un sólido puntual en P actúan las fuerzas F1=2i +3j-5k, F2 = - 5i+j+3k,
F3= i – 2j + 4k, F4 = 4i -3j -2k, medidas en Newtons:
Hallar:
a) La fuerza resultante
b) La longitud de dicha resultante
Sol. A) 2i –j; B) 2.24 N
12) Hallar los ángulos que forman el vector r = 3i - 6j + 2k con los ejescoordenados.
o
Sol. α = 64.6 , β = 149 o , γ = 73.4 o

Ing. Francisco Xavier Yañez Bringas.

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PROBLEMARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
UNIDAD I
Álgebra de vectores.
13) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P(1, 3, 2 ), Q(2, -1, 1),
R(1, 2, 3).

Sol.

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2

14) Determine si los siguientes vectores son paralelos, perpendiculares o ninguno
de ambos casos, donde a = 3i + 2 j − 6k , b = 4i −3 j + k .
v = 2ai + aj − 4k
15) Para que valores de a son u = ai − 2 j + k
y
perpendiculares?
Sol. 2 y -1.
16) Si v1 = 4i − j + 3k y v 2 = −2i + j − 2k , hallar el vector unitario perpendicular a

v1 y v 2 .

 i − 2 j − 2k 

3



Sol ± 

17) Hallar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de la recta que
pasa por los puntos ( 3, 2, -1) y (2, -1, 4) en el campo de fuerzasdado por
F = 4i − 3 j + 2k . Sol. 15
18) Determine si los siguientes vectores son paralelos, perpendiculares o ninguno
de los dos casos.
a) u = j + 6k , v = i − 2 j − k
b) u = 2,−3,1 , v = − 1,−1,−1
19) Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores
a = i + 2 j − k , b = −2i + 3k y c = 7 j − 4k
Sol. 23 u3.
20) La magnitud y la dirección de la fuerza sobre un cigüeñal cambiancuando éste
gira. Calcular el momento sobre el cigüeñal usando la posición y los datos
mostrados en la figura.
21) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (3,−2,1)
y es paralela a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x = 1 + 2t ,
y = 2 − t , z = 3t
Sol. x = 3 + 2t ; y = −2 − t ; z = 1 + 3t
22) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos ( 1, 1, -1), (2,...