Prob Cvv Semana08 1

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo en Varias Variables 08- 1

1.

Guía
Ingeniería Matemática Semana 8
Universidad de Chile

RESUMEN

Ê

Puntos críticos y optimización sin restricciones. Dada f : Ω → ,
los puntos x0 ∈ Ω donde f es diferenciable y ∇f (x0 ) = 0 se llaman puntos
críticos de f .
Decimos que x0 ∈ Ω es un mínimo local de f , siexiste δ > 0 tal que
B(x0 , δ) ⊂ Ω y
es decir f (x0 ) =

f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ B(x0 , δ),

m´ın

x∈B(x0 ,δ)

f (x) .

Similarmente, decimos que x0 ∈ Ω es un máximo local de f , si es un mínimo local de −f . Un mínimo o máximo local es estricto si las desigualdades
correspondientes son estrictas para x = x0 .
• Los máximos y mínimos locales de una función diferenciable son puntos
críticos.
Unamatriz A de tamaño N × N es semidefinida positiva si
∀h ∈

ÊN

hT Ah ≥ 0

y definida positiva si
∀h ∈

ÊN \ {0}

hT Ah > 0 .

De manera similar, decimos que A es (semi)definida negativa si la matriz
−A es (semi)definida positiva.
• Una matriz es definida (semidefinida) positiva si, y sólo si, todos sus valores propios son positivos (no-negativos).

Ê

Ê

Optimalidad y segundo orden. Sea f : Ω ⊂ N →
unafunción de
clase C 2 (Ω), Ω un abierto, y x0 ∈ Ω un punto crítico de f . Entonces
• Si x0 es un mínimo (resp. máximo) local de f entonces la matriz simétrica
f ′′ (x0 ) es semidefinida positiva (resp. negativa).
• Si f ′′ (x0 ) es definida positiva (negativa), entonces x0 es un mínimo (máximo) local estricto de f .

Ê

Ê

Diremos en general, que para f : Ω ⊂ N → de clase C 2 , un punto crítico x0es un punto silla, si todos los valores propios de f ′′ (x0 ) son distintos
de cero, y hay presentes valores propios positivos y negativos. Los vectores
propios asociados a valores propios negativos corresponden a direcciones en
las cuales la función baja a partir de x0 (hacia ambos lados), mientras que
en las direcciones complementarias sube.

1

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Universidad de Chile

2.EJERCICIOS PROPUESTOS

Optimización sin restricciones
P1.- Sea f :

Ê2 → Ê, f (x, y) = (y − 3x2)(y − x2 )

a) Muestre que el origen es un punto crítico.
b) f tiene un mínimo local en (0, 0), a lo largo de cada recta que
pasa por (0, 0), esto es, si g(t) = (at, bt), entonces (f ◦ g)(t) :
→ tiene un mínimo local en 0 para cada (a, b) ∈ 2 .

Ê Ê

Ê

c) (0, 0) no es mínimo local de f .

P2.-Verifique que el punto (1, 1, 1) es crítico para la siguiente función:
f (x, y, z) = x4 + y 4 + z 4 − 4xyz
y determine su naturaleza calculando los valores propios de la Matriz
Hessiana.
P3.- Encuentre y clasifique (si es posible) los puntos críticos de las siguientes funciones:
1. f (x, y) = x2n+1 y + xy 2m+1 + xy con n, m ∈

Æ

2

2. V (x, y) = y − sen x

P4.- Determine los puntos críticos de lasiguiente función
f (x, y, z) = y ln z +

y2
+ x2 + 2
2z

y clasifíquelos según máximos, mínimos o puntos silla.
P5.- Estudie los puntos críticos de la función f (x, y) = (x2 +3y 2 ) e1−(x
y clasifíquelos.

2

+y 2 )

P6.- Una curva C en el espacio está definida implícitamente por la intersección de las superficies:
x2 + y 2

=

1

(2.1)

x − xy + y 2 − z 2

=

1

(2.2)

2

Hallar el o los puntos en Cmás cercanos al origen.
Hint: Puede parametrizar C en coordenadas cilíndricas, es decir: x(θ) =
cos(θ), y(θ) = sen(θ), z = z dada la ecuación (2.1).

2

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P7.- La gráfica de la función g(x, y) = 1/(xy), x, y > 0 define una superficie
S en 3 . Hallar los puntos sobre S más cercanos al origen.

Ê

P8.- Determine los puntos de la superficie de ecuación z 2 − xy= 1 que
están a menor distancia del origen.
P9.- Para este problema considere las definiciones del P11.-. Sea C ⊆
convexo y f : C → :

Ê

ÊN

a) Pruebe que f es convexa ssi el conjunto
epi(f ) = {(x, y) ∈

ÊN +1| x ∈ C, y ∈ Ê y ≥ f (x)} (epigrafo de f )

es convexo. Interprete geométricamente.
b) Suponga C abierto convexo. Pruebe las siguientes equivalencias:
• Si f diferenciable. Entonces f...