Prob Cvv Semana09 1

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo en Varias Variables 08- 1

1.

Guía
Ingeniería Matemática Semana 9
Universidad de Chile

RESUMEN

Teorema de los multiplicadores de Lagrange y optimización con
restricciones. Sean f : N +m → , g : N +m → m , funciones de clase
C 1 . Sea
A = {z ∈ N +m | g(z) = 0}

Ê

Ê
Ê

Ê

Ê

y supongamos que
f (z0 ) =m´ın f (z) .
z∈A

Supongamos además que la matriz g ′ (z0 ), que es de tamaño (N + m) × m,
es de rango completo (posee m columnas linealmente independientes).
• Entonces existen números λ1 , λ2 , . . . , λm tales que
m

λi ∇gi (z0 ).

∇f (z0 ) =
i=1

Optimización con restricciones de igualdad y multiplicadores de
Lagrange
P1.- Sean α, β y γ los ángulos interiores de un triángulo. Muestre que:
senβ
γ
α
sen
sen
2
2
2

≤

1
8

P2.- Encuentre el máximo de log x+log y +3 log z en la porción de la esfera
x2 + y 2 + z 2 = 5r2 donde x > 0, y > 0, z > 0. Use el resultado para
probar que para tres reales positivos a, b, c se cumple que:
abc3 ≤ 27

a+b+c
5

5

P3.- Considere el siguiente problema de optimización:

m´ın
x21 + . . . + x2n



n
xi = 1
s.a.
(P )

i=1


xi > 0 ∀i = 1, . . . , na) Resuelva (P ).

b) Pruebe que si a1 , a2 , . . . , an > 0 entonces:
(a1 a2 · · · an )

1

1
n

1
≤
n

n

ai
i=1

Ingeniería Matemática

Ê

P4.- Sea Q ∈ Mn×n ( ), b ∈

Universidad de Chile

Ê

n

,c ∈

Ê y f (x) = x Qx + bx + c.
t

a) Encuentre condiciones sobre Q para la existencia de máximos y
mínimos para f .
b) Idem, pero bajo la condición:
n

x2i = 1
i=1

P5.- Pruebe que la caja de volumenmáximo que puede caber dentro de
una esfera de radio R > 0 es un cubo.

P6.-

a) Calcular el valor máximo de f :

Ê2n → Ê, f (x, y) =

n

xi yi =
i=1

x, y sujeto a x 2 + y 2 = 1.
b) Con esto demuestre la desigualdad de Cauchy-Schwartz : x, y ≤
x y .
P7.- Considere el plano que pasa por los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
Encontrar el punto del plano más cercano al origen en el octantepositivo.
P8.- Determine los máximos y mínimos de la función f (x, y, z) = x4 + y 4 +
z 4 , sujeto a la restricciones x2 + y 2 + z 2 = 1 y x + y + z = 1.
P9.- Determine los máximos y mínimos globales de:
f (x, y, z) = 2x2 + y 2 + z 2 − xy
2

2

2

sujeto a que x2 + y4 + z8 ≤ 1.
Justifique su respuesta.
P10.- Método de mínimos cuadrados
Dados n distintos números x1 . . . xn y otros n puntos y1 . . .yn (no
necesariamente distintos), es generalmente imposible encontrar una
línea recta f (x) = a+bx que pase a través de todos los puntos (xi , yi ),
eso es, tales que f (xi ) = yi , para cada i . Sin embargo podemos
intentar construir una función lineal tal que “el error cuadrático total”:
n

[f (xi ) − yi ]2

E(a, b) =
i=1

sea mínimo. Encuentre los valores de a y b que cumplen esto.

2Ingeniería Matemática

Universidad de Chile

P11.- Sea A una matriz de n × n simétrica con coeficientes reales.
a) Sea f :

Ên → Ê, f (X) = xtAx. Verifique que ∇f (x) = 2Ax.

b) Sea v1 una solución del problema de minimización
m´2ın xt Ax

x

=1

Pruebe que v1 es vector propio de A.
c) Sea v2 una solución del problema de minimización
x

m´ın

2 =1,x·v =0
1

xt Ax

donde v1 es el vector de la parteanterior. Pruebe que v2 es vector
propio de A.
d) Considere v1 , v2 como en las partes anteriores. Se define v3 , . . . , vn
por recurrencia: dados v1 , . . . , vk sea vk+1 una solución del problema
m´ın
xt Ax
2
x

=1,x·v1 =0,...,x·vk =0

Demuestre que v3 , . . . , vn son vectores propios de A. Deduzca
que A es diagonalizable.

2.

PROBLEMAS RESUELTOS

P12.- (P1 C3 PRIM 2005, P. Guiraud)
(Función deEntropía y Física Estadística) En este problema
queremos maximizar la función S : n → definida por S(x1 , . . . , xn ) =

Ê

n

Ê

xk ln(xk ), primero sobre todo su dominio de definición y luego

−
k=1

bajo restricciones.
a) Dar el dominio de S, justificar que S es de clase C 1 , calcular sus
derivadas parciales y mostrar que es de clase C 2 .
b) Encontrar los puntos críticos de S.
n

c) Encontrar...