Prob Edos N Solu

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Ejercicios resueltos Tema 8
EDOs de orden superior
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Noviembre 2008, Versión 1.3

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
1. 4y 00 + y 0 = 0.
2. y 00 − y 0 − 6y = 0.
3. y 00 + 8y 0 + 16y = 0.
4. 12y 00 − 5y 0 − 2y = 0.
5. y 00+ 9y = 0.
6. y 00 − 4y 0 + 5y = 0.
7. 3y 00 + 2y 0 + y = 0.
(1.1)
4y 00 + y 0 = 0.
Ecuación característica
4m2 + m = 0,
m (4m + 1) = 0,
raíces
m = 0,

m = −1/4,

soluciones
y1
y2
Solución general

= e0x = 1,
1
= e− 4 x .
1

y = c1 + c2 e− 4 x ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.2)
y 00 − y 0 − 6y = 0.
Ecuación característica
m2 − m − 6 = 0,
(
√
6
1 ± 1 + 24
1±5
2 = 3,
m=
=
=
2
2
− 42 = −2.
1

Ejerciciosresueltos: EDO’s de orden superior

2

Sistema fundamental de soluciones
y1
y2

= e3x ,
= e−2x .

Solución general
y = c1 e3x + c2 e−2x ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.3)
y 00 + 8y 0 + 16y = 0.
Ecuación característica
m2 + 8m + 16 = 0,
√
−8 ± 64 − 64
8
m=
= − = −4
2
2
Sistema fundamental de soluciones
y1
y2

(doble) .

= e−4x ,
= xe−4x .

Solución general
y = c1 e−4x + c2 xe−4x ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.4)
12y 00 − 5y 0 −2y = 0.
Ecuación característica
12m2 − 5m − 2 = 0,
√
√
5 ± 25 + 96
25 + 4 · 2 · 12
=
24
24
(
√
16
2
5 ± 121
5 ± 11
24 = 3 ,
=
=
6
24
24
= −1/4.
− 24

5±

m =
=

Sistema fundamental de soluciones
y1
y2
Solución general

2

2

= e 3 x,
1
= e− 4 x .
1

y = c1 e 3 x + c2 e− 4 x ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.5)
y 00 + 9y = 0.
Ecuación característica
m2 + 9 = 0,
m2 = −9,
√
m = ± −9 = ±3i.
Tenemos dos raícescomplejas conjugadas (simples)
z = α ± βi,

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

3

con α = 0 y β = 3. Las soluciones son del tipo
y1
y2

= eαx cos βx,
= eαx sin βx.

Solución general
y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx) ,
y = c1 cos 3x + c2 sin 3x,

c1 , c2 ∈ R.

(1.6)
y 00 − 4y 0 + 5y = 0.
Ecuación característica
m2 − 4m + 5 = 0,
m =
=

√
√
4 ± −4
16 − 20
=
2
2
4 ± 2i
= 2 ± i.
2
4±

Sistemafundamental de soluciones
= e2x cos x,
= e2x sin x.

y1
y2
Solución general

y = e2x (c1 cos x + c2 sin x) ,

c1 , c2 ∈ R.

(1.7)
3y 00 + 2y 0 + y = 0.
Ecuación característica
3m2 + 2m + 1 = 0,
m =
=

√
√
4 − 12
−2 ± −8
=
6√
√6
−2 ± 2 2i
1
2
=− ±
i.
6
3
3
−2 ±

Sistema fundamental de soluciones
−x
3

Ã√ !
2
cos
x ,
3

−x
3

Ã√ !
2
sin
x .
3

y1 = e

y2 = e
Solución general
−x
3

y=e

"

Ã√ !
à √ !#2
2
c1 cos
x + c2 sin
x
,
3
3

c1 , c2 ∈ R. ¤

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

4

Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
1. y 000 − 4y 00 − 5y 0 = 0.
2. y 000 − 5y 00 + 3y 0 + 9y = 0.
3.

d3 u d2 u
+ 2 − 2u = 0.
dt3
dt

4. y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = 0.
5. y (4) + y 000 + y 00 = 0.
6. 16
7.

d4 y
d4 y
+
24
+ 9y = 0.
dx4
dx4

d4 u
d3 u
d2 u du
d5 u
+5 4 − 2 3 − 10 2 +
+ 5u = 0.
5
dr
dr
dr
dr
dr

(2.1)
y 000 − 4y 00 + 5y 0 = 0.
Ecuación característica
m3 − 4m2 − 5m = 0,
¡
¢
m m2 − 4m − 5 = 0,

m2 − 4m − 5 = 0,

m = 0,

m2 − 4m − 5 = 0,
(
√
√
10
4 ± 16 + 20
4 ± 36
4±6
2 = 5,
m=
=
=
=
2
2
2
− 22 = −1.
Raíces
m = 0,

m = 5,

m = −1.

Sistema fundamental de soluciones
y1
y2
y3

= e0x = 1,
= e5x ,
= e−x .

Solución general
y = c1 + c2 e5x + c3 e−x,

c1 , c2 , c3 ∈ R.

(2.2)
y 000 − 5y 00 + 3y 0 + 9y = 0.
Ecuación característica
m3 − 5m2 + 3m + 9 = 0.
Intentamos con los divisores del término independiente
±1, ±3, ±9.

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior

5

Para m = −1, obtenemos
(−1)3 − 5(−1)2 + 3(−1) + 9 = −1 − 5 − 3 + 9 = 0.
Descomponemos usando la regla de Ruffini
1
−1)

Resolvemos

1

−5
−1
−6

3
6
9

9
−9
0

¡
¢
m3 − 5m2 + 3m+ 9 = (m + 1) m2 − 6m + 9 .

m2 − 6m + 9 = 0,
√
6
6 ± 36 − 36
= = 3 (doble) .
m=
2
2
Sistema fundamental de soluciones
y1
y2
y3

= e−x ,
= e3x ,
= xe3x .

Solución general
y = c1 e−x + c2 e3x + c3 xe3x ,

c1 , c2 , c3 ∈ R.

(2.3)
d3 u d2 u
+ 2 − 2u = 0,
dt2
dt
000
u + u00 − 2u = 0.
Ecuación característica
m3 + m2 − 2 = 0.
Observamos que m = 1 es solución. Descomponemos usando la regla de Ruffini...