Prob Planteo Con Integrales

PROBLEMAS DE PLANTEO
CON INTEGRALES INDEFINIDAS
Ejemplo:
Un minorista recibe un cargamento de 10.000 Kg. De arroz que se consumirán en
un período de 5 meses a una razón constante de 2.000 kg. Por mes. Si el costo de
almacenamiento es 1 centavo de dolar por kg. Al mes. ¡Cuánto pagará el minorista
en costos de almacenamiento en los próximos 5 meses?
Solución
Sea S(t) el costo total dealmacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el
arroz se consume a una razón constante de 2,000 kg al mes, la cantidad de
kilogramos de arroz almacenados después de t meses es 10.000 – 2.000t. Por
tanto, como el costo de almacenamiento es 1 centavo por kg al mes, la razón de
cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es
ds  cos to por  número de 

 = 0,01(10.000 − 2.000 t )
=
dt kilógramo  kilógramos 
Se concluye que S(t) es una antiderivada de
0,01(10.000 – 2.000t) = 100 – 20t
S( t ) = ∫

dS
dt
dt

=

∫ (100 − 20 t ) dt

Es decir,
= 100 t – 10 t 2 + C
para alguna constante C.
Para determinar C, utilice el hecho de que en el momento en que llega el
cargamento (cuando t = 0) no hay costos, de manera que
0 = 100(0) - 10(0) 2 + C

Por tanto,

ó

C=0

S(t) = l00 t – 10t 2

y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será
S(5) = 100(5) - 10(5)2 = US$ 250

Prof, H. Cornejo O.

Recuérdese que, si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con
ds
desplazamiento s(t), su velocidad está dada por v =
y
dt
dv
su aceleración por a =
Si se conoce la aceleración del objeto, su
dt
velocidad y su desplazamiento pueden encontrarse mediante laintegración.
Ejemplo
Después de aplicar los frenos, cierto automóvil disminuye la velocidad a una razón
constante de 22 pies por segundo por segundo. Si en el momento de aplicar los
frenos el automóvil viaja a 45 millas por hora (66 pies por segundo), ¿cuánto recorre
el automóvil antes de detenerse por completo?
Solución
Sea s(t) el desplazamiento (distancia) del automóvil t segundos después deaplicar
los frenos. Como el automóvil disminuye la velocidad a 22 pies por segundo, se
tiene que a(t) = - 22 (el signo negativo indica que el automóvil disminuye la
velocidad), y
dv
= − 22
dt
Al integrar, se tiene que la velocidad en el momento t está dada por
v(t) = ∫ - 22 dt = -22 t + C

1

Para calcular C1, observe que v = 66 cuando t = 0, de manera que
66 = v(0) = - 22(0) + C 1
y C1 = 66. Así, lavelocidad en el tiempo t es v(t) = -22t + 66 Luego, para hallar el
desplazamiento s(t), comience con el hecho de que
ds
= v( t ) = − 22 t + 66
dt
e integrando llegamos a que:
s( t ) = ∫ ( −22 t + 66) dt = − 11 t 2 + 66 t + C 2
Como s(0) = 0,

C2 = O

y

s(t)= - 11 t 2 + 66 t

Por último, para hallar la distancia recorrida, observe que el automóvil se detiene
cuando v(t) = 0 y esto ocurre cuando v(t)= -22t + 66= O
Prof, H. Cornejo O.

Al resolver esta ecuación, se encuentra que el automóvil se detiene después de 3
segundos de disminuir la velocidad, y en ese tiempo ha recorrido
s(3) = 11(3)2 + 66(3) = 99 pies
PROBLEMAS
1..- Se estima que dentro de t meses la población de cierto pueblo cambiará a una
razón de 4 + 5 t 2 personas por mes. Si la población actual es 10.000 personas, ¿cuál será lapoblación dentro de 8 meses?
2.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es v(t) =
1 + 4t + 3 t 2 metros por minuto. ¿Qué distancia recorre el objeto durante el
tercer minuto?
3.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es v(t) =
3 + 2t + 6 t 2 metros por minuto. ¿Qué distancia recorre el objeto durante el
segundo minuto?
4.- Se estima quedentro de t años el valor de cierta parcela se incrementará a una
razón de r(t) dólares por año. Halle una expresión para la cantidad en que
aumentará el valor de la tierra durante los próximos 5 años.
5.- Los promotores de una feria de distrito estiman que t horas después de abrir las
puertas a las 9:00 a. m., los visitantes entrarán a la feria a una razón de r(t)
personas por hora. Halle una...