Proba

DISTRIBUCIÓN GAMMA

Es un modelo básico en la teoría estadística.

Definición
Una variable aleatoria continua X tiene distribución Gamma si su densidad de probabilidad está dada por>0, >0 son los parámetros para este modelo .


Fig. G1. Gráfico de la distribución Gamma para algunos valores de , 
() es lafunción Gamma:
Si  es un entero positivo, entonces

() = ( - 1)! .

Demostración

u = x-1  du= (-1)x-2 dx Para integrar por partes
dv = e-x dx  v = -e-x

Se obtiene
= ( - 1)( - 1)
Sucesivamente
() = ( -1)(-2)(-3)...(1), pero (1) = 1 por integración directa.

MEDIAY VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA

 = E[X] = , 2 = V[X] = 2 .

Demostración para 
 = = =
Mediante lasustitución y = x/
 =
=
Con la definición de la función Gamma:
= =

Ejemplo
El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento es una variablealeatoria con distribución gamma con parámetros =3, =2
a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas
b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C= 30X + 2X2, siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.

Solución
Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)
Su densidad deprobabilidad es:
f(x) =

a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico

P(X>8) = 1 – P(X8) = 1 -
Para integrar se pueden aplicar dos veces la técnica de integración por partes:
,
u = x2 du = 2x dx
dv = e-x/2 dx  v = -2 e-x/2
= -2x2 e-x/2 + 4

u = x  du = dx
dv = e-x/2dx  v = -2 e-x/2
= -2x e-x/2 + 2
Sustituyendo los resultados intermedios,
P(X>8) = 1 - =...