proba

164

Capítulo 4 Probabilidad y distri buciones de probabilidad

Solución

Él primer paso en la solución es determinar los valores que puede tomar la ganancia x, y
luego determinar p(x). Si el evento no ocurre durante el año, la compañía de seguros
ganará la prima de x = e dólares. Si se presenta el evento, la ganancia será negativa; es
decir, la compañía perderá mil dólares menos laprin;la de e dólares ya recibida. Entonces,
x = - (1000 - C) dólares. Las probabilidades asociadas con estos dos valores de x son
98/100 y 2/100, respectivamente. La distribución de probabilidad para la ganancia se
muestra en la tabla:
x = Ganancia

e
-(1000 - C)

p(x)

98/100
2/100

Como la compañía quiere que la prima del seguro e sea tal que, a la larga (para muchas
pólizassimilares), la ganancia media será igual a cero, se puede establecer el valor esperado de x igual a cero y encontrar C. Entonces,
J.t = E(x) = ~xp(x)

=e(~)+ [-c1ooo- C)J( 100 =o
2._)
100
o bien,

2
98
-e+-e-20=0
100
100
Al resolver esta ecuación para e, se obtiene e= 20 dólares. Por consiguiente, si la compañía de seguros cobrara una prima anual de 20 dólares, la ganancia promedio calculadapara una gran cantidad de pólizas similares sería igual a cero. La prima real sería de
20 dólares más los costos administrativos y la utilidad.

4.1

El método para calcular el valor esperado de x de una variable aleatoria continua e
similar a lo que se hizo, pero en la práctica se requiere el uso del cálculo. No obstante.
los resultados básicos acerca de las expectativas son las mismas paralas variables aleatorias continuas y discretas. Por ejemplo, sin que importe si x es continua o discreta, J.t =E(x
y u2 =E(x - J.t )2.

~

4.8

Ejercicios
Técnicas básicas
4.76

Diga si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas:
a) El número de puntos que se anota en un partido de futbol

b) La vida en anaquel de un medicamento particular
e) La altura de lamarea en un lugar determinado
d) Largo de un robalo de dos años de edad

e) Cantidad de eventos cercanos al choque entre aviones en un año

4.8J

4.8 Va riables aleatorias discretas y sus distribuciones de probabilidad

4.77

165

Identifique si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas:
a) Aumento en la expectativa de vida logrado en un paciente con cáncer comoresultado de

una operación.
b) La resistencia a la tensión de ruptura (en libras por pulgada cuadrada) de un cable de acero

de una pulgada de diámetro.
e) El número de ciervos muertos al año en una reserva de vida silvestre estatal.

d) Número de cuentas vencidas en un gran almacén en un momento determinado.
e) Su presión arterial.

4.78

Una variable aleatoria x tiene esta distribuciónde probabilidad:
X
012
34
5
p(x)

0.1 0.3 0.4 0.1

?

0.05

a) Encuentre p(4).
b) Construya un histograma de probabilidad para describir p(x).
e) Encuentre ¡.t-, a2 y a.

d) Localice el intervalo ¡.t- ::±: 2a en el eje x de las abcisas en el histograma. ¿Cuál es la
probabilidad de que x esté en este intervalo?
e) Si fuera a seleccionar una cantidad muy grande de valores de x dela población, ¿podría esta
caer dentro del intervalo ¡.t- ::±: 2a? Explique.

4.79

Una variable aleatoria x puede asumir cinco valores: O, 1, 2, 3, 4. Se muestra enseguida una
parte de la distribución de probabilidad:
X
0
1 2
3 4
p(x)

0.1 0.3 0.3

?

0.1

a) Encuentran p(3) .
b) Trace un histograma de probabilidad para p(x).

e) Calcule la media, varianza y desviaciónestándar para la población.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 2?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea 3 o menos?

4.80

Sea x e! número observado de lanzamientos de un dado no cargado.
a) Encuentre y grafique la distribución de probabilidad para x.
b) ¿Cuál es el promedio o valor esperado de x?

e) ¿Cuál es la desviación estándar de x?

::±: 2a en el eje x de la...