Proba

Universidad T´ cnica Federico Santa Mar´a
e
ı
Departamento de Matem´ tica
a
Casa Central

Esteban Henr´quez C.
ı
Estimaci´ n Puntual
o
1er. Semestre 2012

MAT 042 –PROBABILIDAD Y ESTAD´STICA INDUSTRIAL
I
´
Formulario Estimacion Puntual
iid

X = (X1 , . . . , Xn ) ∼ fX (x, θ)

1
µr = E[X ] , mr =
n

n

r

n

fXi (xi , θ)LX (x, θ) =
i=1

µr = mr

m´ x LX (x, θ) = LX (x, θ MV )
a
θ∈Θ

r = 1, . . . , k

k: cantidad de par´ metros.
a
iid

iid

X = (X1 , . . . , Xn ) ∼ fX (x, θ)
Yn =m´ x {Xi }n
a
i=1
fYn (y) = n (F X (y))n−1 fX (y)

X = (X1 , . . . , Xn ) ∼ fX (x, θ)
Y1 = m´n {Xi }n
ı
i=1
fY1 (y) = n (1 − F X (y))n−1 fX (y)

Sesgo:Insesgamiento:
E θ = θ ⇔ Insesgado

Sesgo θ

E g(θ) = g(θ) ⇔ Insesgado

Sesgo g(θ)

o
l´m E θ = θ ⇒ Asint´ ticamente insesgado
ı

n→∞

= E θ −θ
= E g(θ) − g(θ)

l´m E g(θ) =g(θ) ⇒ Asint´ ticamente insesgado
ı
o

n→∞

Consistencia:

Error Cuadr´ tico Medio:
a

ECM g(θ)

i=1

θ M es el Est de momentos de θ si y s´ lo si satisface
oθ MV es el EMV de θ si y s´ lo si:
o

ECM θ

Xir

= V θ + Sesgo θ

l´m ECM θ = 0 ⇔ Consistente en ECM
ı

2

= V g(θ) + Sesgo g(θ)

n→∞
2

l´m ECM g(θ) = 0 ⇔Consistente en ECM
ı

n→∞

Eficiencia relativa:
θ1 es m´ s eficiente que θ2 si y s´ lo si:
a
o
ECM θ1
ECM θ2

Invarianza EMV:
Sea g : R → R continua e inyectiva:

< 1g(θ) MV = g θ MV

iid

Considere X = (X1 , . . . , Xn ) ∼ fX (x, θ), luego T (X) = T (X1 , . . . , Xn ) es estad´stico SUFICIENTE para
ı
θ si y s´ lo si
o
LX (x, θ) = g (T(x), θ) h(x)
con h(x) ≥ 0.
Finalmente, θ es Estimador Suficiente si es funci´ n unicamente del estad´stico suficiente T (X).
o ´
ı
A
LTEX 2ε \ EHC – 02 de julio de 2012