Proba

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA TALLER 1 ALGEBRA LINEAL –Segundo Semestre 2010 1. Determine todos los valores de a para los cuales elsistema

x + 5y + z x + 6y z 2x + ay + bz a) No tiene solución. b) Tiene única solución. c) In…nitas soluciones.

= 0 = 0 = c

2. Determine todos los valores de a, b y c para los cuales el sistemax + 5y + z x + 6y z 2x + ay + bz a) No tiene solución. b) Tiene única solución. c) In…nitas soluciones. 3. Dada la matriz 0 B B B B @ 1 0 1 0 3 0 1 0 0 2

= 0 = 0 = c

1 2 1 2 1 0 1 0 1 10 1 1 1 1

1 C C C C A

Calcular la matriz adjunta.

4. Muestre que si A es no singular, entonces adj(A) es no singular y (adj(A)) 5. Sea P una matriz invertible. det(B) = det(A) 6. Evalúe 11

1 A = adj(A det(A)

1

)
1

Muestre que si B = P AP

, entonces

a) det b) det 7. Muestre que los valores de I 4 1 2 1 1 3 2 2

para los cuales el sistema homogéneo = = 0 0 )(d )dc = 0:

(a )x + by cx + (d )y

tiene una solución no trivial que satisface la ecuación (a

8. Sean u y v soluciones del sistema lineal homogéneo Ax = 0: a. Muestre que u + v es una solución.b. Muestre que u v es una solución. c. Para cualquier escalar r, muestre que ru es una solución. d. para cualesquiera escalares r y s, muestre que ru + sv es una solución. 9. Muestre que si u y vson soluciones del sistema lineal Ax = b, entonces u v es una solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0: 10. Sea Ax = b, b 6= 0, un sistema lineal consistente. a. Muestre que si xp es unasolución particular del sistema no homogéneo dado y xh es una solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0, entonces xp + xh es una solución del sistema dado Ax = b. b. Muestre que toda solución x delsitema lineal no homogéneo Ax = b se puede escribir como xp + xh , donde xp es una solución particular del sistema no homogéneo dado y xh es una solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.

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