Proba

4.9 Variables aleatorias continuas conjuntas.
En muchas ocasiones debemos de tratar simultáneamente con dos o mas variables aleatorias. Por ejemplo, podríamos seleccionar muestras de hojas de acero para medir su resistencia al corte y el diámetro de los puntos de soldadura. Así ambas incógnitas son variables aleatorias de interés. O podríamos seleccionar personas de cierta población y medir sualtura y peso.
Definición
Si ϕ es el espacio muestral asociado a un experimento ε,X1,X2,…,Xk son funciones, cada una de las cuales asigna un numero real, X1(e),X2(e),…,Xk(e), a cada resultado e, designaremos a [X1,X2,…,Xk] vector aleatorio k- dimensional .
El espacio del rango del vector aleatorio [X1,X2,…,Xk] es el conjunto de todos lo valores posibles del vector aleatorio. Puederepresentarse como RX1xX2x…xXk , donde

Hasta el momento se ha visto el estudio de variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad que se restringe a espacios muestrales unidimensionales, en los que se registra
los resultados de un experimento como valores que toma una sola variable aleatoria.
Habrá situaciones, sin embargo, donde se puede encontrar que es deseable registrar los resultadossimultáneos de diversas variables aleatorias.
La función f(x,y) es una distribución de probabilidad conjunta o función de masa de probabilidad de las variables aleatorias discretas X y Y si

Para cualquier región A en el plano xy, P[(X,Y) ∈ ∑∑f(x,y)].
Ejemplo: Se seleccionan al azar dos repuestos para un bolígrafo de una caja que contiene tres repuestos azules, dos rojos y tres verdes. Si X esel número de repuestos azules y Y es el número de repuestos rojos que se seleccionan, encontrar la función de probabilidad conjunta f(x,y) y P[(X,Y) ∈ A], donde A es la región {(x,y) | x + y ≤ 1}.
El número total de formas posibles de seleccionar dos repuestos de ocho es C(8,2) = 28. Los posibles pares de valores (x,y) son: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2) y (2,0). El valor (0,0) corresponde aseleccionar al azar 0 azules, 0 rojos y 2 verdes; o sea, C(3,0)C(2,0)C(3,2) = 3. Entonces, f(0,0) representa la probabilidad de seleccionar cero azules y rojos, y dos verdes; o sea, f(0,0) = 3/28.

La función f(x,y) es una función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas X y Y si

para cualquier región A en el plano xy.
4.10 Funciones de Densidad para v.a.c.conjuntas y momentos.
Las distribuciones marginales de X sola y Y sola son:
Para el caso discreto, g(x) y h(y) son las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias X y Y.

Para el caso continuo, g(x) y h(y) son las funciones de densidad de las
variables aleatorias X y Y

Se puede observar que las distribuciones marginales g(x) y h(x) son distribuciones de probabilidades de lasvariables individuales X y Y, cumpliendo la definición de distribución de probabilidad (fdp).

Sean X y Y dos variables aleatorias, discretas o continuas.
La distribución de probabilidad condicional de la variable aleatoria Y, dado que X = x, es:

La distribución de probabilidad condicional de la variable aleatoria X, dado que Y = y, es:

Si se desea encontrar la probabilidad de que lavariable aleatoria discreta X caiga entre a y b cuando se sabe que la variable aleatoria discreta Y = y, se evalúa:

Si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria discreta Y caiga entre a y b cuando se sabe que la variable aleatoria discreta X = x, se evalúa:

Si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria continua X caiga entre a y b cuando se sabe quela variable aleatoria continúa Y = y, se evalúa:

Si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria continua Y caiga entre a y b cuando se sabe que la variable aleatoria continua X = x, se evalúa:

Sean X y Y dos variables aleatorias, discretas o continuas, con distribución de probabilidad conjunta f(x,y) y distribuciones marginales g(x) y h(y), respectivamente. Se dice que...