Probabilidad 2 Ejercicios

Tarea 1.
Probabilidad I.
Profesor: Gerardo Rubio Hern´ndez.
a
Ayudante: L. Guadalupe Cienfuegos Blancas.

1. Sean (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad donde F es el conjunto potencia de Ω y Pes una medida de probabildad que asigna la misma
p > 0 a cada punto muestral de Ω:
a. Demuestra que Ω debe ser finito.
1
b. Demuestra que si n es el n´ mero de puntos muestrales en Ω entonces p = nu
2. a. Exhibe si es posible un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) que satisfaga que si P (E1 ) = P (E2 ) entonces E1 = E2 para E1 y E2 elementos
de F
b. Construye un espacio medible (Ω, F) en elque ning´ n conjunto de un s´lo elemento {ω } con ω ∈ Ω, sea un evento.
u
o
c. Considera un espacio muestral Ω = (0, 1) con una medida de probabilidad que a cada subintervalo de Ω le asocia sulongitud. Muestra
que existen dos eventos no ajenos para los que se cumple que la probabilidad de la uni´n es la suma de las probabilidades.
o
3. Sean A y B eventos independientes tales que laprobabilidad de que ocurran simult´neamente es
a
1
es 3 . Encuentra P (A) y P (B ).

1
6

y la probabilidad de que ninguno ocurra

o
e
4. a. Si A∆B = (A \ B ) ∪ (B \ A) = (A ∪ B ) \ (A ∩ B ).Encuentra una expresi´n para P (A∆B ) en t´rminos de P (A), P (B ) y P (A \ B ).
b. Decimos que dos eventos A y B son iguales casi seguramente si P (A∆B ) = 0 y lo denotamos por A = B c.s.. Demuestraque:
(i) Si A = B c.s. entonces A y B tienen la misma probabilidad.
(ii) A = B c.s. ⇔ P (A ∩ B ) = max(P (A), P (B )).
u
a
5. a. Calcula el n´ mero de lanzamientos de un par de dados que serequiere para que sea m´s probable obtener un par de seises que no
obtenerlo.
b. Calcula el n´ mero de lanzamientos de tres dados que se requieren para que sea m´s probable obtener una tercia de cincos queno obtenerla.
u
a
6. Sea Ω = N \ {0} = {1, 2, . . .} y A = {A ⊂ Ω : A es finito o Ac es finito}
a. Demuestra que A es una σ −´lgebra.
a
o
b. Toma la funci´n µ : A −→ [0, 1] dada por µ(A) = 0...