probabilidad condicional

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Alejandro D. Zylberberg
Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004

Probabilidad condicional
Supongamos que estamos estudiando el rendimiento de los alumnos de la materia
Probabilidad y Estadística en un determinado examen.
De un relevamiento surge que:
• el 80% de los alumnos estudiópara el exámen
• el 75% de los alumnos aprobó el examen
• el 15% de los alumnos no estudió para el examen y
no lo aprobó.
Si definimos el experimento de tomar un alumno al
azar, y llamamos A al suceso "el alumno tomado
aprobó el examen" y B al suceso "el alumno tomado
estudió para el examen", entonces tenemos que:
P(A) = 0.75
P(B) = 0.8
P( A ∩ B ) = 0.15
Con estos datos y considerandoque P(E) = 1, ya podemos hacer el diagrama de Venn
correspondiente y conocer las probabilidades de todas las regiones.
Por ejemplo, si quisiéramos evaluar el nivel de los profesores y las clases, nos puede
interesar responder la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que haya
estudiado haya aprobado el examen?
Intuitivamente podemos darnos cuenta de que, al menos bajo ciertascircunstancias, el
procedimiento para encontrar la respuesta podría ser fijarnos, de entre los alumnos que
estudiaron, cuántos aprobaron.
Los alumnos que estudiaron fueron el 80%.
Ese 80% está formado un 70% que aprobaron y un 10% que no aprobaron.
Entonces podemos decir que de cada 80 alumnos que estudiaron, 70 aprobaron.
Visto de otra forma, si estamos parados en B, la probabilidad de estaral mismo tiempo
también parados en A es 70/80 = 0.875.
La cuenta que hicimos intuitivamente fue calcular la proporción entre la cantidad de
alumnos que [estudió y aprobó], sobre el total de alumnos que estudiaron.

Entonces, respondiendo a la pregunta, la probabilidad de que un alumno que estudie
apruebe, es decir, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B, se escribe P(A/B) yvale:
P  A / B =

P  A∩ B 
P B

Dicha expresión constituye la definición de probabilidad condicional, y vale para todo par
de sucesos A, B contenidos en el mismo espacio muestral.
P(A/B) se lee "probabilidad condicional de A dado B", o bien "probabilidad de A dado B"
o bien "probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurrió B".
Más abajo se mostrará conceptualmente cómo se llega a esaexpresión.
En este ejemplo quedan definidas las siguientes probabilidades:
P(A)
probabilidad de que un alumno cualquiera apruebe
P(B)
probabilidad de que un alumno cualquiera estudie
P(A/B) probabilidad de que un alumno que estudió apruebe
P(B/A) probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado
Y también:
P(A/ B ) probabilidad de que un alumno que no estudió apruebe
P(B/ A )probabilidad de que un alumno que no aprobó haya estudiado
P( A /B) probabilidad de que un alumno que estudió no apruebe
P( B /A) probabilidad de que un alumno que aprobó no haya estudiado
A modo ilustrativo, calcularemos algunas:
La probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado es la probabilidad de que
ocurra B(estudió) sabiendo que ocurrió A(aprobó), es decir:
P  B / A =

P  B∩A  0 . 7
=
= 0 . 933
P A
0 . 75

Notemos que no es lo mismo la probabilidad de que un alumno que estudió apruebe (P
(A/B)) que la probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado (P(B/A)).
La probabilidad de que un alumno apruebe sin estudiar es la probabilidad de que apruebe
dado que no estudió, es decir, la probabilidad de que ocurra A sabiendo que no ocurrió B,
o sea:
P  A/ B =

P  A ∩ B  0 . 05
=
= 0 . 25
P B
0.2

¿Cómo explicamos desde los conceptos vistos hasta ahora la expresión hallada para la
probabilidad condicional?
Como vimos antes, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B es la probabilidad
de que ocurran A y B simultáneamente dividida la probabilidad de que ocurra B, es decir,
intuitivamente, la probabilidad de "estar...