Probabilidad Condicional

El siguiente material se encuentra en etapa de corrección y no deberá ser considerado una versión final. Alejandro D. Zylberberg Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004

Probabilidad condicional
Supongamos que estamos estudiando el rendimiento de los alumnos de la materia Probabilidad y Estadística en un determinado examen. De un relevamiento surge que: • el 80% de los alumnos estudió parael exámen • el 75% de los alumnos aprobó el examen • el 15% de los alumnos no estudió para el examen y no lo aprobó. Si definimos el experimento de tomar un alumno al azar, y llamamos A al suceso "el alumno tomado aprobó el examen" y B al suceso "el alumno tomado estudió para el examen", entonces tenemos que: P(A) = 0.75 P(B) = 0.8 P( A ∩ B ) = 0.15 Con estos datos y considerando que P(E) = 1, yapodemos hacer el diagrama de Venn correspondiente y conocer las probabilidades de todas las regiones. Por ejemplo, si quisiéramos evaluar el nivel de los profesores y las clases, nos puede interesar responder la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que haya estudiado haya aprobado el examen? Intuitivamente podemos darnos cuenta de que, al menos bajo ciertas circunstancias, elprocedimiento para encontrar la respuesta podría ser fijarnos, de entre los alumnos que estudiaron, cuántos aprobaron. Los alumnos que estudiaron fueron el 80%. Ese 80% está formado un 70% que aprobaron y un 10% que no aprobaron. Entonces podemos decir que de cada 80 alumnos que estudiaron, 70 aprobaron. Visto de otra forma, si estamos parados en B, la probabilidad de estar al mismo tiempo tambiénparados en A es 70/80 = 0.875. La cuenta que hicimos intuitivamente fue calcular la proporción entre la cantidad de alumnos que [estudió y aprobó], sobre el total de alumnos que estudiaron.

Entonces, respondiendo a la pregunta, la probabilidad de que un alumno que estudie apruebe, es decir, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B, se escribe P(A/B) y vale:
P  A/ B = P  A∩B  P BDicha expresión constituye la definición de probabilidad condicional, y vale para todo par de sucesos A, B contenidos en el mismo espacio muestral. P(A/B) se lee "probabilidad condicional de A dado B", o bien "probabilidad de A dado B" o bien "probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurrió B". Más abajo se mostrará conceptualmente cómo se llega a esa expresión. En este ejemplo quedan definidaslas siguientes probabilidades: P(A) probabilidad de que un alumno cualquiera apruebe P(B) probabilidad de que un alumno cualquiera estudie P(A/B) probabilidad de que un alumno que estudió apruebe P(B/A) probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado Y también: P(A/ B ) probabilidad de que un alumno que no estudió apruebe P(B/ A ) probabilidad de que un alumno que no aprobó haya estudiadoP( A /B) probabilidad de que un alumno que estudió no apruebe P( B /A) probabilidad de que un alumno que aprobó no haya estudiado A modo ilustrativo, calcularemos algunas: La probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado es la probabilidad de que ocurra B(estudió) sabiendo que ocurrió A(aprobó), es decir:
P  B/ A= P  B∩ A 0 . 7 = =0 . 933 P A 0 . 75

Notemos que no es lo mismola probabilidad de que un alumno que estudió apruebe (P (A/B)) que la probabilidad de que un alumno que aprobó haya estudiado (P(B/A)). La probabilidad de que un alumno apruebe sin estudiar es la probabilidad de que apruebe dado que no estudió, es decir, la probabilidad de que ocurra A sabiendo que no ocurrió B, o sea:
P  A/ B = P  A∩B  0 . 05 = =0 . 25 P B 0.2

¿Cómo explicamos desdelos conceptos vistos hasta ahora la expresión hallada para la probabilidad condicional? Como vimos antes, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B es la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente dividida la probabilidad de que ocurra B, es decir, intuitivamente, la probabilidad de "estar parados en A, sabiendo que estamos parados en B". Lo que sucede es que el hecho de "estar...